Коло дотикається до більшого катета прямокутного трикутника, проходить через вершину протилежного гострого кута, а його центр
лежить на гіпотенузі трикутника. Який радіус кола, якщо довжини
катетів дорівнюють 5 і 12 см?

Дано: ΔАВС — прямоугольный, окружность (О, ОС), АВ= 12 см, АС = 5 см, О ∈ ВС.

Найти: радиус OD

В прямоугольном треугольнике ΔАВС найдём его гипотенузу по т.Пифагора:

АВ² + АС² = ВС²;

12² + 5² = ВС²;

ВС²= 169;

ВС= 13 см. (Длина стороны не может быть отрицательным числом)

Проведём ОD ⟂ АВ. Треугольники ΔАВС и ΔDBO подобны согласно лемме о подобных треугольниках.

Пусть радиус OC=OD= x. Тогда OB= BC–OC= 13–x.

Поскольку треугольники подобны:

AC/OD= BC/BO;

5/x= 13/(13–x);

5(13–x)= 13x;

65–5x= 13x;

65= 18x;

x= 3 (11/18) см.

ответ: 3 и 11/18 см.

P.S. Рисунок прилагается.