Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см. через середину гипотенузы проведён перпендикуляр к его плоскости, равный 6 см. вычислите расстояние от концов перпендикуляра до катетов и вершины прямого угла треугольника.

Объяснение:

Обратим внимание на то, что ON и OM являются перпендикулярами к катетам прямоугольного треугольника, поскольку нам необходимо найти расстояние KN и KM.

Рассмотрим отрезок NO. Он является перпендикуляром к CB. Угол ACB также вляется прямым по условию задачи. Таким образом, треугольники ABC и OBN  - подобны по признаку равенства углов (см. подобие треугольников). Угол В - общий, а, поскольку CA и NO являются перпендикулярами к CB - то остальные углы также равны (один прямой, второй равен 180 градусов минус сумма остальных углов, равенство которых мы уже доказали).  

Коэффициент подобия треугольников равен соотношению BO к BA. Поскольку точка О - точка касания медианы прямоугольного треугольника к гипотенузе, то есть AO = OB, то коэффициент подобия будет равен 1:2.

Откуда ON = CA / 2 = 9 / 2 = 4,5

Расстояние же KN найдем по теореме Пифагора.

KN = √(4,52 + 62 ) = 7,5 см

Аналогично, найдем расстояние до второго катета:

OM = CB / 2 = 12 / 2 = 6

KN = √( 62 + 62 ) = √72 = 6√2 см  

ответ:  7,5 см,  6√2 см