К окружности с центром в точке О проведены касательные АВ и АС, ОВ и ОС – радиусы. ОВ=3 см, АВ=4 см. Найдите величины ОС и АС.

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойство касательной окружности, которое гласит: касательная, проведенная к окружности из точки касания, радиус исходной окружности перпендикулярны друг другу.

Исходя из этого свойства, мы можем понять, что треугольник ОВА является прямоугольным, где ОВ – радиус окружности, а АВ – касательная. Поэтому, используя теорему Пифагора, мы можем найти длину ОА.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
В данном случае, мы знаем длины сторон треугольника ОВА – ОВ равно 3 см, а АВ равно 4 см. Поэтому, можем написать следующее уравнение:
ОА² = ОВ² + АВ²
ОА² = 3² + 4²
ОА² = 9 + 16
ОА² = 25

Чтобы найти ОА, необходимо извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:
ОА = √25
ОА = 5 см

Теперь мы можем найти длину стороны треугольника ОС, используя свойство касательной окружности. Это свойство гласит, что радиус и касательная из одной точки к окружности образуют прямой угол. Так как ОС является радиусом, а АС – касательной, то угол САО будет прямым углом.

Теперь вспомним свойство прямоугольного треугольника, которое гласит: в прямоугольном треугольнике катет, апплицированный к прямому углу, является высотой, и его продолжение проходит через центр окружности.

Исходя из этого свойства и зная, что ОВ равно 3 см, мы можем заключить, что СО является высотой треугольника ОСА. Поэтому, используя перпендикулярные стороны прямоугольного треугольника, мы можем применить теорему Пифагора:
ОС² = ОА² + СА²
ОС² = 5² + СА²
ОС² = 25 + СА²

Теперь нам нужно найти длину стороны АС. Поскольку СА и ОА являются перпендикулярными сторонами прямоугольного треугольника, мы можем использовать свойство прямоугольных треугольников, которое гласит, что произведение длин перпендикулярных сторон равно произведению длин высот треугольника, опущенных на эти стороны. В данном случае, это можно записать как:
СА * ОА = СО * АС
4 * 5 = 3 * АС
20 = 3 * АС

Теперь мы можем найти длину стороны АС:
АС = 20 / 3
АС = 6.67 см (округляем до второго знака после запятой)

Таким образом, ОС равно 25 + СА², что равно 25 + (6.67)²:
ОС² = 25 + 44.49
ОС² = 69.49

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
ОС = √69.49
ОС = 8.34 см (округляем до второго знака после запятой)

Таким образом, ОС равно примерно 8.34 см, а АС равно примерно 6.67 см.