Из вершины тупого угла B ромба ABCD опущены высоты BH и BK на стороны AD и CD соответственно. Диагональ AC пересекает
высоту BH в точке P и высоту BK в точке Q. Найдите длину отрезка
HK, если известно, что KP =p и PQ= q .

PQ = q; KP = HQ = p; пусть ∠BDC = Ф; он же равен Ф = ∠DMK = ∠FKB;

DM II AC; очевидно, что DM = q, так как EQ = q/2; -средняя линия треугольника BMD; =>

DK = q*sin(Ф); при этом DK*sin(Ф) = FK = x/2; где x = HK; искомый отрезок.

=>x/(2q) = (sin(Ф))^2;

(далее по ходу решения эту величину будет удобно принять за новую неизвестную, но к тому времени уже не важна будет её связь с углами и синусами )

Из треугольников HQL и KQL

HQ^2 - KQ^2 = HL^2 - KL^2;

HL = (x + q)/2; KL = (x - q)/2; (ну, я надеюсь, этого объяснять не надо)

KQ = KL/cos(Ф);

=> p^2 - (x/2- q/2)^2/(cos(Ф))^2 = (x/2 + q/2)^2 - (x/2 - q/2)^2 = xq;

(cos(Ф))^2 = 1 - (sin(Ф))^2 = 1 - x/(2q);

Окончательно

p^2 - (x - q)^2/(4*(1 - x/(2q))) = xq;

это уравнение уже пригодно для решения, но для упрощения я ввожу t = x/(2q); a = (p/q)^2; тогда это уравнение легко приводится к такому виду

t^2 - (1 + a)*t + a - 1/4 = 0;

Я выделю полный квадрат (чтобы не писать здоровенные корни), а потом сразу напишу ответ для x без выбора знака.

(t - (1 + a)/2)^2 = (1 + a)^2/4 - a + 1/4 = ((1 - a)^2 + 1)/4;

x = q*(1 + a +- √((1 - a)^2 + 1)); где a = (p/q)^2;

Чтобы понять, какой знак надо выбрать, я рассмотрел очевидный частный случай Ф = 60°; кстати, именно он изображен на рисунке.

В этом случае x = 3q/2; a = 7/4 (сосчитайте! надо же и вам что-то сделать :) даю подсказку - треугольники PQB и HKB равносторонние со сторонами q и x = 3q/2; соответственно, а p^2 находится из треугольника QHB по теореме косинусов), и нужным знаком оказался "минус".

Поэтому x = q*(1 + a - √((1 - a)^2 + 1)); где a = (p/q)^2;

Ну, вы сами попросили :)