1. Геометрия
  2. Из вершины прямого угла проведена

Из вершины прямого угла проведена биссектриса, делящая гипотенузу на отрезки а и b. Чему равна эта биссектриса?

soloviovav82owjd2t soloviovav82owjd2t    3   08.04.2020 06:27    1

Ответы
maezsa maezsa  12.10.2020 22:09

Пусть дан треугольник АВС с прямым углом А, в котором проведена биссектриса АЕ, длину которой нужно найти.

Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Запишем пропорцию:

\rm{\dfrac{AB}{BE}= \dfrac{AC}{CE}}

\mathrm{\dfrac{AB}{AC}= \dfrac{BE}{CE}}=\dfrac{a}{b}

Пусть \mathrm{AC}=x. Тогда \mathrm{AB}=\dfrac{a}{b} x.

Запишем теорему Пифагора для треугольника АВС:

\rm{AB^2+AC^2=BC^2}

\left(\dfrac{a}{b} x\right)^2+x^2=(a+b)^2

\dfrac{a^2}{b^2}\cdot x^2+x^2=(a+b)^2

\left(\dfrac{a^2}{b^2}+1\right)\cdot x^2=(a+b)^2

x^2=\dfrac{(a+b)^2}{\dfrac{a^2}{b^2}+1}

x^2=\dfrac{b^2(a+b)^2}{a^2+b^2}

x=\dfrac{b(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2} }

Значит:

\mathrm{AC}=\dfrac{b(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2} }

\mathrm{AB}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2} }=\dfrac{a(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2} }

Запишем теорему синусов для треугольника АЕС:

\rm{\dfrac{AE}{\sin C} =\dfrac{EC}{\sin EAC} }

Так как АЕ - биссектриса, то ЕАВ и ЕАС равны по половине прямого угла, то есть по 45°.

Синус угла С определим как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\rm{\sin C=\dfrac{AB}{BC} }

Теперь можем найти биссектрису:

\rm{AE =\dfrac{EC\cdot\sin C}{\sin EAC} }

\rm{AE =\dfrac{EC\cdot AB }{BC \cdot\sin EAC} }

\mathrm{AE} =\dfrac{b\cdot\dfrac{a(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2} } }{(a+b) \cdot\sin 45^\circ}=\dfrac{\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2} } }{ \sin 45^\circ} }=\dfrac{\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2} } }{\dfrac{1}{\sqrt{2} } }=\dfrac{ab\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+b^2}}

ответ: \dfrac{ab\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+b^2}}


Из вершины прямого угла проведена биссектриса, делящая гипотенузу на отрезки а и b. Чему равна эта б
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Геометрия
manjester1 manjester1  21.07.2019 16:20
Найдите площадь треугольника со сторонами 4см, 6см , 8см, если он вписан в окружность с радиусом равным 3 см...
Andreyко Andreyко  21.07.2019 16:20
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды в 4 раза больше площади основания. найди объём пирамиды, если её высота равна 3 м...
NeGaTiV1488228 NeGaTiV1488228  21.07.2019 16:20
Вравнобедренном треугольнике одна сторона 15 см, а другая 7см. найдите длину основания треугольника....
khamraevmowfdcs khamraevmowfdcs  21.07.2019 16:20
Периметр равнобедренного треугольника abk с основой ab равняется 16 дм. наути его медиану km , если периметр треугольника kmb равняется 12дм....
Лейла011 Лейла011  21.07.2019 16:20
в треугольнике abc угол a=90,ac=12, sinуглаabc=0,8.найти bc...
polina1329 polina1329  12.06.2019 05:30
Решить : определить угол , который равен три дробь седьмых своего смежного ?...
komikadza komikadza  28.07.2019 00:00
Как найти периметр треугольника, если известен периметр другого треугольника...
12312312712 12312312712  13.04.2020 08:42
Мне нужно всё тоже самое только 2500...
Лдаслл183 Лдаслл183  13.04.2020 08:42
НУЖНА угол a, который образует OA с положительной полуосью Ox...
karinka20001202 karinka20001202  13.04.2020 08:42
Как расположены относительно друг друга две центрально симметричные прямые​...

Популярные вопросы