Использование дифференциального исчисления функций одной переменной в практических задачах на экстремум.
Город А находится на расстоянии 54 (км) от железной дороги, проходящей вдоль
берега моря. На берегу моря находится портовый город В.Под каким углом к
железной дороге нужно провести шоссе из города А, чтобы доставка грузов из пор-
та В в город А была наиболее дешевой? Стоимость перевозки по шоссе составляет
468 руб. за 1 т/км, а по железной дороге -52 руб. за 1 т/км.

ответ: α=arccos(1/9)≈84°.

Объяснение:

Пусть α - искомый угол. Пусть s - расстояние от города В до точки, через которую проходит перпендикуляр к шоссе, проведённый из города А. Тогда дина маршрута l=s-54*ctg(α)+54/sin(α). Пусть m - масса груза, тогда стоимость доставки груза S=52*m*[s-54*ctg(α)]+468*m*54/sin(α). Так как m=const и s=const, то задача сводится к нахождению наименьшего значения функции S(α). Находим её производную: S'(α)=[52*54*m-468*54*m*cos(α)]/sin²(α) и приравниваем её к нулю. Отсюда после сокращения на произведение 54*m следует уравнение 52-468*cos(α)=0, откуда cos(α)=52/468=1/9. Тогда α=arccos(1/9)≈84°.