Хорды AB и CD пересекаются в точке K. Найдите СD, если AK = 25, BK = 4, CK = KD.

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать несколько свойств пересекающихся хорд внутри окружности.

Пункт 1: Вертикальные углы равны.
Это означает, что угол AKB равен углу CKD, так как они соответствуют пересекающимся хордам AB и CD.

Пункт 2: Углы, образованные двумя пересекающимися хордами, у которых их вершины лежат на общей окружности, пропорциональны.
Другими словами, отношение угла AKB к углу CKD равно отношению отрезка BK к отрезку DK.

Пункт 3: Если внутри окружности есть хорда и отрезок, проходящий через точку пересечения этой хорды с другой хордой, то произведение отрезков, образованных этой хордой и отрезком, будет постоянным.
Это означает, что AK * KB = CK * KD.

Теперь мы можем начать решение задачи.

1) Из пункта 1 мы знаем, что угол AKB равен углу CKD, поэтому мы можем записать:
AK / CK = BK / DK

2) Мы также знаем, что AK = 25 и BK = 4, поэтому мы можем заменить эти значения в уравнение из пункта 1:
25 / CK = 4 / DK

3) Теперь мы можем использовать пункт 2, чтобы записать отношение углов в виде отношения отрезков:
AK / CK = BK / DK
25 / CK = 4 / DK

4) Мы можем переписать это уравнение, чтобы избавиться от знаменателей:
25 * DK = 4 * CK

5) Теперь мы можем использовать пункт 3 для записи уравнения в виде произведения отрезков:
AK * BK = CK * DK
25 * 4 = CK * DK

6) Мы знаем, что AK = 25 и BK = 4, поэтому мы можем заменить эти значения в уравнение из пункта 5:
25 * 4 = CK * DK

7) Выполняя простые вычисления, мы получаем:
100 = CK * DK

8) Но мы также знаем, что CK = KD, поэтому мы можем заменить KD на CK в уравнении из пункта 7:
100 = CK * CK

9) Теперь нам нужно найти значение CK. Мы можем найти квадратный корень из обеих сторон уравнения:
CK = √100

10) Решая выражение, мы получаем:
CK = 10

Таким образом, мы нашли, что CK равно 10. Но вопрос просит найти CD.

Для нахождения CD мы можем использовать пункт 3:
AK * BK = CK * DK

Мы знаем, что AK = 25 и BK = 4, а CK = KD = 10 (из предыдущих вычислений). Подставляя эти значения в уравнение, мы получаем:
25 * 4 = 10 * DK

Решая уравнение, мы получаем:
100 = 10 * DK

Делим обе стороны на 10, чтобы изолировать DK:
10 = DK

Таким образом, мы нашли, что DK равно 10.

Теперь нам нужно найти CD. Мы знаем, что CK = KD = 10, а CD = CK + DK. Подставляя значения в уравнение, мы получаем:
CD = 10 + 10

Решая выражение, мы получаем:
CD = 20

Таким образом, мы нашли, что CD равно 20.