Гипотенуза прямоугольного треугольника равна x. проекция вершины прямого угла на гипотенузу делит ее на два отрезка, из которых меньший относится к большему как больший ко всей гипотенузе. определить площадь
треугольника

Неожиданно полезная задача.

Я СПЕЦИАЛЬНО решаю без привлечения тригонометрических функций. Обозначим катеты треугольника y и z, а отрезки гипотенузы u и v. Высота делит треугольник на два ему подобных.

Тогда

u/v = v/x;

Из подобия

z/x = v/z; v = z^2/x;

y/x = u/y; u = y^2/x;

Подставляем

y^2/z^2 = z^2/x^2; y/z = z/x; y = z^2/x = (x^2 - y^2)/x;

Обозначим t = y/x (это, конечно же синус угла, противоположного катету y, но в данном случае это "высшее" знание:) не нужно для решения)

t = 1 - t^2; t^2 + t - 1 = 0; t1 = (корень(5) - 1)/2; второй отрицательный. (Что то мне подсказывает, что тут есть угол в 36 градусов :)) 

Итак,

y = x*(корень(5) - 1)/2;

вспоминаем, что z^2 = y*x, поэтому

z = x*корень((корень(5) - 1)/2);

Площадь равна (1/2)*y*z = (1/4)*x^2*(корень(5) - 1)*корень((корень(5) - 1)/2);

Ну, что поделаешь.