геометрия векторы 1) дан треугольник ABC и две точки D и E, не лежащие в его плоскости. докажите, что при выполнении равенства DE = хАВ+уАС пирамида DE параллельна плоскости ABC 2)в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, точка М лежит на стороне ВС, ВМ=МС, АВ=р, АО=q . выразите вектор АМ через векторы р и q

1) Для доказательства параллельности пирамиды DE и плоскости ABC мы можем использовать условие существования векторного произведения нулевого модуля между двумя векторами.

Пусть векторы AB и AC соответствуют сторонам треугольника ABC, а векторы AD и AE - векторам, проведенным из вершины треугольника до точек D и E соответственно.

Так как вектор DE представлен в виде суммы векторов хAB+уАС, то его можно записать как векторную сумму двух векторов: хаб и уас.

DE = хAB + уAC

Следовательно, мы можем записать векторное произведение AB и AC равным нулю.

AB x AC = 0

Потому что AB и AC - это два неколлинеарных вектора, указывающих на линейно независимые стороны треугольника.

Когда мы вычисляем векторное произведение, например, AB x AC, мы получаем нормальный вектор плоскости ABC, а его модуль равен площади треугольника ABC, умноженной на 2.

Таким образом, мы можем записать условие равенства модуля векторного произведения нулю:

|AB x AC| = 0

Если мы раскроем модуль, то получим:

|(AB x AC)| = AB x AC = 0

Теперь мы можем записать вектор DM в виде векторного произведения AB x AD и вектора AE:

DM = AB x AD + AE

Также мы можем записать вектор DN в виде векторного произведения AC x AE и вектора AD:

DN = AC x AE + AD

Теперь предположим, что пирамида DE не параллельна плоскости ABC. Это означает, что вектор DM и вектор DN имеют неколлинеарные направления.

Таким образом, мы можем записать следующее условие, используя векторное произведение нулевого модуля:

DM x DN = 0

Если мы раскроем векторное произведение и сократим его до 0, получим:

(AB x AD + AE) x (AC x AE + AD) = 0

Раскроем скобки, используя свойство распределения векторного произведения:

(AB x AD) x (AC x AE) + (AB x AD) x AD + AE x (AC x AE) + AE x AD = 0

Теперь рассмотрим каждую часть выражения по отдельности:

1) (AB x AD) x (AC x AE) = 0

Это верно, поскольку вектор AB x AD и вектор AC x AE - это два вектора, которые указывают в разных направлениях, поэтому их векторное произведение будет равно нулю.

2) (AB x AD) x AD = 0

Это также верно, поскольку вектор AB x AD и вектор AD - это два коллинеарных вектора, поэтому их векторное произведение будет равно нулю.

3) AE x (AC x AE) = 0

Это верно, потому что вектор AE и вектор AC x AE - это два вектора, которые указывают в разных направлениях, поэтому их векторное произведение будет равно нулю.

4) AE x AD = 0

Это также верно, поскольку вектор AE и вектор AD - это два коллинеарных вектора, поэтому их векторное произведение будет равно нулю.

Таким образом, получаем:

0 + 0 + 0 + 0 = 0

Из этого следует, что мы получили нулевое векторное произведение, что противоречит нашему предположению о неколлинеарности векторов DM и DN.

Следовательно, пирамида DE параллельна плоскости ABC.

2) Чтобы выразить вектор АМ через векторы р и q, мы можем использовать свойства параллелограмма.

Пусть векторы AB и AC соответствуют сторонам параллелограмма ABCD, а векторы AM и MC - векторам, проведенным от точки М до точек A и C соответственно.

Так как ВМ=МС, то вектор ВМ можно заменить вектором МС:

BM = MC

Также известно, что АМ + МС = AC (поскольку М - это точка, которая лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD).

Теперь мы можем записать выражение для вектора АМ, подставив вектор МС вместо вектора ВМ:

AM = AC - МС

AM = AC - BM

Также по условию задачи известно, что АВ = р, АО = q. Мы можем использовать эти значения, чтобы выразить векторы AB и AC через векторы р и q:

AB = AO + OB

AB = q + р

AC = AO + OC

AC = q + OC

Теперь подставим полученные значения в выражение для вектора АМ:

AM = (q + OC) - BM

AM = (q + OC) - (MC)

AM = (q + OC) - (MC)

AM = q + (OC - MC)

AM = q + (OC - MC)

Таким образом, вектор АМ можно выразить через векторы р и q:

AM = q + (OC - MC)