Геометрия, 11 класс, 100б. С полным решением

Две хорды окружности АС и BD взаимно перпендикулярны.

а) Найдите отрезок. соединяющий середины хорд АС и BD, если отрезок. соединяющий точку их пересечения с центром окружности равен 3.

б) При условии пункта а) найдите AD, если AD>BC, AC=BD и отрезок, соединяющий середины  хорд АВ и CD, равен 5.

————————

а) Обозначим середины хорд АС и ВD точками К и М соответственно. .   Угол Т в точке пересечения хорд - прямой (дано).

 Радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен ей ⇒ Углы ОКТ-ТМТ - прямые. ⇒ Четырехугольник ОКТМ - прямоугольник. Расстояние ОТ является его диагональю. Диагонали прямоугольника  равны. ⇒ Длина отрезка между центрами хорд равна КМ=ОТ=3.

---------------

б) Хорды АС и ВD равны и взаимно перпендикулярны (дано), они , стягивают равные дуги и  при пересечении образуют равнобедренные прямоугольные треугольники. Поэтому хорды АВ и СD, которые соединяют концы АС и ВD, равны.  

   Четырехугольник АВСD - равнобедренная трапеция, и PQ - её средняя линия.  

  Из решения  пункта а) данной задачи отрезок КМ=3. Он проходит через середины АС и ВD и принадлежит средней линии PQ.  Для треугольников АВС и DBC с общим основанием ВС отрезки РК и МQ - средние линии, поэтому равны. РК=MQ=(PQ-KМ):2=(5-3):2=1. АD - основание треугольника АВD, РМ - его средняя линия.  По свойству средней линии треугольника АD=2РМ=2•(PK+KM)=2•(1+3)=8 (ед. длины)