Геометрия 1. стороны основания прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны 6 см и 8 см, диагональ B1D=10√2 см. найдите угол наклона диагонали B1D к плоскости ABC
2. в треугольной пирамиде DABC грани ABC и DBC является равнобедренным и треугольниками с основанием BC. высоты этих треугольников проведённой к основанию равны соответственно 5 см и 8 см. боковое ребро DA пирамиды равно 7 см. найдите градусную меру угла между плоскостями ABC и DBC
3. Укажите какие из точек А (0;1;2), B (0; 0; 6), C (3; 0 - 1), D( 8;0;0), E( - 5; 4;0), F (0 ; - 7; 0) принадлежат a) оси Ох, б) плоскости хОу
4. найдите координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, если известны координаты его вершин В (4;5 - 8), D (0; -1 ;2)​

1. Для начала, рассмотрим треугольник B1BD, где B - вершина прямоугольного параллелепипеда, 1 - его нижняя вершина, D - вершина диагонали B1D.
Мы знаем, что длина сторон основания B1B и B1D равны 6 см и 8 см соответственно, а диагональ B1D равна 10√2 см.
Используем теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны B1B:
B1B² = B1D² - BD²
B1B² = (10√2)² - (6)²
B1B² = 200 - 36
B1B² = 164
B1B = √164
B1B ≈ 12.8 см

Теперь рассмотрим треугольник B1BАС, где B - вершина прямоугольного параллелепипеда, 1 - его нижняя вершина, А - вершина основания прямоугольного параллелепипеда, С - середина стороны BC основания.
Мы знаем, что сторона B1B равна 12.8 см, а сторона BC равна 8 см.
Используя определение синуса, найдем угол наклона диагонали B1D к плоскости ABC:
sin(угол наклона) = длина B1С / длина B1B
sin(угол наклона) = 8 / 12.8
sin(угол наклона) ≈ 0.625
угол наклона ≈ arcsin(0.625)
угол наклона ≈ 39.1 градусов

Ответ: Угол наклона диагонали B1D к плоскости ABC примерно равен 39.1 градусов.

2. Обозначим точку, в которой проводятся высоты треугольников ABC и DBC, как H.
Мы знаем, что высота треугольника ABC равна 5 см, а высота треугольника DBC равна 8 см. Также, дано, что боковое ребро DA пирамиды равно 7 см.
Рассмотрим треугольник DHA.
Мы знаем, что сторона DA равна 7 см, сторона DAH равна 8 см (высота треугольника DBC), а сторона AH равна 5 см (высота треугольника ABC).
Используем закон косинусов, чтобы найти угол DHA:
cos(угол DHA) = (сторона DAH² + сторона AH² - сторона DA²) / (2 * сторона DAH * сторона AH)
cos(угол DHA) = (8² + 5² - 7²) / (2 * 8 * 5)
cos(угол DHA) = (64 + 25 - 49) / 80
cos(угол DHA) = 40 / 80
cos(угол DHA) = 0.5
угол DHA = arccos(0.5)
угол DHA ≈ 60 градусов

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Заметим, что треугольник ABC является равнобедренным, поэтому угол BAC равен углу DAB. Также, угол ABC является углом между плоскостями ABC и DBC.
Так как угол DHA равен 60 градусов, то угол BAC и угол DAB равны 60 градусов.
Таким образом, градусная мера угла между плоскостями ABC и DBC равна 60 градусов.

Ответ: Градусная мера угла между плоскостями ABC и DBC равна 60 градусов.

3.
a) Ось Ох в трехмерном пространстве представляет собой прямую, пересекающую плоскости хОу и хОz.
Точка А имеет координаты (0; 1; 2). Заметим, что y-координата точки А равна 1, поэтому точка А не принадлежит оси Ох.
Точка B имеет координаты (0; 0; 6). Заметим, что y-координата точки B равна 0, поэтому точка B принадлежит оси Ох.
Точка C имеет координаты (3; 0; -1). Заметим, что y-координата точки C равна 0, поэтому точка C принадлежит оси Ох.
Точка D имеет координаты (8; 0; 0). Заметим, что y-координата точки D равна 0, поэтому точка D принадлежит оси Ох.
Точка E имеет координаты (-5; 4; 0). Заметим, что y-координата точки E равна 4, поэтому точка E не принадлежит оси Ох.
Точка F имеет координаты (0 ; -7; 0). Заметим, что y-координата точки F равна -7, поэтому точка F не принадлежит оси Ох.

Ответ: Точки B, C и D принадлежат оси Ох.

b) Плоскость хОу в трехмерном пространстве представляет собой плоскость, проходящую через оси Ох и Оу.
Точка А имеет координаты (0; 1; 2). Заметим, что z-координата точки А равна 2, поэтому точка А принадлежит плоскости хОу.
Точка B имеет координаты (0; 0; 6). Заметим, что z-координата точки B равна 6, поэтому точка B принадлежит плоскости хОу.
Точка C имеет координаты (3; 0; -1). Заметим, что z-координата точки C равна -1, поэтому точка C не принадлежит плоскости хОу.
Точка D имеет координаты (8; 0; 0). Заметим, что z-координата точки D равна 0, поэтому точка D принадлежит плоскости хОу.
Точка E имеет координаты (-5; 4; 0). Заметим, что z-координата точки E равна 0, поэтому точка E принадлежит плоскости хОу.
Точка F имеет координаты (0 ; -7; 0). Заметим, что z-координата точки F равна 0, поэтому точка F принадлежит плоскости хОу.

Ответ: Точки А, B, D, E и F принадлежат плоскости хОу.

4. Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, нужно найти сначала точку пересечения прямых, на которых лежат диагонали.

Для начала, рассмотрим уравнение прямой, проходящей через вершины В (4; 5; -8) и D (0; -1 ; 2).
Уравнение этой прямой можно записать в виде:
x = x1 + t(x2 - x1)
y = y1 + t(y2 - y1)
z = z1 + t(z2 - z1)
где (x, y, z) - координаты точки на прямой, (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты вершин В и D, t - параметр.

Подставляем известные значения:
x = 4 + t(0 - 4)
y = 5 + t(-1 - 5)
z = -8 + t(2 - (-8))

Упрощаем уравнения:
x = -4t + 4
y = -6t + 5
z = 10t - 8

Теперь рассмотрим уравнение прямой, проходящей через вершины A (0,1,2) и C (3,0,-1).
Аналогично предыдущему случаю, уравнение прямой можно записать в виде:
x = 0 + t(3 - 0)
y = 1 + t(0 - 1)
z = 2 + t(-1 - 2)

Упрощаем уравнения:
x = 3t
y = 1 - t
z = 2 - 3t

Теперь, чтобы найти точку пересечения прямых, приравниваем значения координат (x, y, z) из двух уравнений:
-4t + 4 = 3t
-6t + 5 = 1 - t
10t - 8 = 2 - 3t

Решаем систему уравнений:
-4t + 4 - 3t = 0
-6t + t = 1 - 5
10t + 3t = 2 + 8

-7t + 4 = 0
-5t = -4
13t = 10

7t = 4
t = 4/7

Подставляем найденное значение параметра t в уравнения прямых:
x = -4(4/7) + 4 = -16/7 + 28/7 = 12/7
y = -6(4/7) + 5 = -24/7 + 35/7 = 11/7
z = 10(4/7) - 8 = 40/7 - 56/7 = -16/7

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD равны (12/7, 11/7, -16/7).

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD равны (12/7, 11/7, -16/7).