Две точки лежат по одну сторону от прямой. Докажите, что есть не более одной окружности с центром на данной прямой, которая проходит через данные точки. В каком случае такой окружности не будет?

Допустим, у нас есть две точки A и B, которые лежат по одну сторону от прямой l. Мы хотим доказать, что существует не более чем одна окружность с центром на прямой l, которая проходит через эти две точки.

1. Давайте предположим, что существует две окружности с центром на прямой l, которые проходят через точки A и B. Обозначим их как окружность O₁ и окружность O₂.

2. Поскольку окружность O₁ проходит через точки A и B, то она должна быть описана около треугольника AOB, где O - центр окружности O₁. Аналогично, окружность O₂ должна быть описана около треугольника AOB.

3. Рассмотрим радиусы этих двух окружностей. Обозначим их как r₁ и r₂ соответственно. Поскольку O₁ и O₂ являются центрами окружностей, то r₁ и r₂ - это расстояния от центра окружности до точек A и B.

4. Теперь рассмотрим следующие два случая:

а) Если r₁ = r₂, то обе окружности имеют одинаковый радиус. Это означает, что обе окружности должны быть одной и той же окружностью. Таким образом, существует только одна окружность с центром на прямой l, проходящая через точки A и B.

б) Если r₁ ≠ r₂, то это означает, что радиусы равны углам треугольника AOB, образованным на окружности O₁ и окружности O₂, отличаются. Но треугольник AOB должен иметь только один и тот же угол, так как расположен по одну сторону от прямой l. Это противоречие, так как две окружности не могут описывать один и тот же треугольник с разными углами. Следовательно, существует только одна окружность с центром на прямой l, проходящая через точки A и B.

Таким образом, мы доказали, что существует не более чем одна окружность с центром на данной прямой, которая проходит через две точки A и B.

Если точки A и B находятся по разные стороны от прямой l, то у них нет общих точек с прямой и, следовательно, не может быть окружности с центром на прямой, проходящей через эти точки.