Две параллелограмм ABCD и A1B1C1D1. Докажите, что середины отрезков AA1, BB1, CC1, DD1 лежат на одной прямой или являются вершинами параллелограмма

Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся двумя фактами:
1) Середина отрезка соединяет две его вершины и делит его пополам;
2) Параллелограммы имеют противоположные стороны, равные и параллельные.

Докажем, что середины отрезков AA1, BB1, CC1 и DD1 лежат на одной прямой, используя переход отрезков между двумя параллелограммами.

Рассмотрим линии, соединяющие середины сторон параллелограмма ABCD с соответствующими серединами сторон параллелограмма A1B1C1D1.

Линия, соединяющая середины сторон AB и A1B1, пусть будет F.
Линия, соединяющая середины сторон BC и B1C1, пусть будет G.
Линия, соединяющая середины сторон CD и C1D1, пусть будет H.
Линия, соединяющая середины сторон AD и A1D1, пусть будет I.

Чтобы доказать, что эти середины лежат на одной прямой, мы можем провести две параллельные прямые через стороны АВ и А1В1 параллелограммов и показать, что они пересекаются на линии, соединяющей середины сторон AB и A1B1.

Для этого воспользуемся свойством параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны. Отсюда следует, что АВ || A1B1 и A1V1 || AV, где V и V1 - вершины этих сторон соответственно.

Построим две прямые, параллельные АВ и А1В1, через V и V1 соответственно. P и P1 - точки пересечения этих прямых.

Теперь рассмотрим треугольники АVV1 и А1P1P.

По свойству параллелограмма параллельные прямые приводят к соответствующему равенству углов, а значит, угол V1P1A1 равен углу VAV1.

Также, так как точки V1 и P1 лежат на прямых, проходящих через середину сторон A1B1 и ВV1 соответственно, то эти точки также являются серединами отрезков A1B1 и VV1.

Заметим, что треугольник ВVV1 подобен треугольнику А1P1P, так как углы при вершинах равны (угол ВВ1V1 равен углу А1P1P).

Из подобия треугольников следует, что отрезки ВB и A1P1 лежат на продолжении друг друга и их соотношение равно отношению сторон треугольников ВVV1 и А1P1P соответственно.

Так как ВB равняется двойке диагонали параллелограмма А1B1C1D1 (по определению параллелограмма), то А1P1 тоже равняется двойке диагонали параллелограмма А1B1C1D1.

Аналогично проведем рассуждения для диагонали ВD и отрезка VI. Получим, что они также равны двум диагоналям параллелограмма А1B1C1D1.

Так как две диагонали ПА параллелограмма делятся пополам, то отрезки VI и A1P1 пересекаются на середине диагонали ПА, то есть лежат на одной прямой, и эта прямая проходит через середины отрезков АА1 и ВB1.

Следовательно, середины отрезков АА1, ВB1, СС1 и DD1 лежат на одной прямой.

Также, можно заметить, что если построить векторы AB и A1B1 (направленные от точки A к точке B), то координаты вектора A1B1 будут равны координатам вектора AB (так как в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны). Аналогично для остальных сторон параллелограмма.

Тогда, если мы посмотрим на середины сторон параллелограмма, то для середины отрезка AA1 координаты будут равны половине суммы координат точек A и A1 ( т.к. середина делит отрезок пополам), что равно половине суммы координат вектора AB и A1B1.

Следовательно, координаты середины отрезка AA1 будут равны половине суммы координат точек A и A1, что равно середине отрезка ВB1.

Таким образом, середина отрезка AA1 является серединой отрезка ВB1, что доказывает наше утверждение.

Таким же образом можно показать, что середины отрезков BB1, CC1 и DD1 также лежат на одной прямой или являются вершинами параллелограмма ABCD.

Итак, мы доказали, что середины отрезков AA1, BB1, CC1 и DD1 лежат на одной прямой или являются вершинами параллелограмма.