Две паралельные прямые пересечены секущей. докажите что : биссектрисы одностороних углов перпендикулярны.

Пусть даны односторонние углы α и β при параллельных прямых и секущей. 
Сумма односторонних углов равна 180°, значит
α+β=180°
или
α/2+β/2=90°

Рассмотрим треугольник, образовавшийся при пересечении биссектрис односторонних углов. Биссектриса делит угол пополам, значит один из углов будет равен α/2, второй β/2.
Как мы ранее выяснили, α/2+β/2=90°, значит третий угол треугольника будет равен 180-90=90° ⇒ биссектрисы односторонних углов перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Проведите прямую, параллельную секущей и на расстоянии, равном отрезку секущей, расположенному между параллельными прямыми. В результате такого построения получим ромб. Диагонали в нем будут биссектрисами углов, и будут перпендикулярны между собой.