Две окружности пересекаются в точках a и b. точка x лежит на прямой ab, но не на отрезке ab. докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки xк окружностям, равны.

Шаг 1. Для удобства описания решения позволю себе обозначить O как O2, F как F1 и E как F2. 
Шаг 2. Обозначим точку пересечения AB и O1 O2 как D. 
Шаг 3. Решение будет симметрично относительно прямой AB, поэтому индексы я опускаю. 
Рассматриваем треугольник OBD: угол D прямой. значит, OD^2 = OB^2 - BD^2. 
Шаг 4. Рассматриваем треугольник OMD: угол D прямой, значит, OM^2 = OD^2 + MD^2 = OB^2 - BD^2 + MD^2. 
Шаг 5. Рассматриваем треугольник OMF: угол F прямой, значит, MF^2 = OM^2 - OF^2 = OB^2 - BD^2 + MD^2 - OF^2. 
Вспоминаем, что OB = OF = R - радиус окружности, поэтому, MF^2 = MD^2 - BD^2. 
Равенство справедливо как для первой окружности, так и для второй. Осталось подставить соответствующие индексы..