Два конуса имеют общее основание ,причем один из них находится внутри другого образующие этих конусов составляют с плоскостью основания углы 60 и 30 градусов.а) докажите ,что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2: 1,считая от вершины большего конуса.б) найдите объем тела,заключунного между бокопыми поверхностями этих конусов,если известно,что сумма высот обоих конусов равна 4.

Смелый но разачарованный в жизни умный рассудительный

Добрый день! Давайте рассмотрим данный вопрос поэтапно.

а) Для начала докажем, что вершина меньшего конуса действительно делит высоту большего конуса в отношении 2:1.

У нас есть два конуса с общим основанием. Пусть H1 и H2 - высоты этих конусов, где H1 - высота большего конуса, а H2 - высота меньшего конуса. Мы знаем, что образующие конусов образуют углы 60 и 30 градусов с плоскостью основания соответственно.

Рассмотрим плоскость, проходящую через вершину большего конуса и перпендикулярную основанию обоих конусов. Эта плоскость ортогональна плоскости основания. В результате пересечения этой плоскости с меньшим конусом получим также конус. Пусть V1 и V2 - вершины большего и меньшего конусов соответственно.

Чтобы доказать, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2:1, нужно установить, что отрезок V2H1 равен двум отрезкам H1H2.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник V2HV1. У нас есть следующие данные:
- угол HV1V2 равен 90 градусам, так как HV1 и HV2 являются высотами конусов и перпендикулярны плоскости основания;
- угол V2HV1 равен 30 градусам, так как меньший конус образован при пересечении плоскости, образованной вершиной большего конуса и перпендикулярной основанию.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник H1V1H2. У нас также есть следующие данные:
- угол V1H2H1 равен 60 градусам, так как больший конус образован при пересечении плоскости, образованной вершиной меньшего конуса и перпендикулярной основанию;
- угол H1V1H2 равен 90 градусам, так как H1V1 и H2V1 являются высотами конусов и перпендикулярны плоскости основания.

Из этих данных следует, что треугольники H1V1H2 и V2HV1 подобны друг другу по теореме об углах при вершине.

Теперь воспользуемся равенством соответствующих сторон в подобных треугольниках:

H1H2 / V2H1 = H1V1 / V1H2

Заметим, что H1V1 равно H1H2 + H2V1. Подставим это равенство в предыдущее:

H1H2 / V2H1 = (H1H2 + H2V1) / V1H2

Теперь умножим обе части равенства на V1H2 и приведем подобные слагаемые:

H1H2 * V1H2 = H1H2 * V2H1 + H2V1 * V2H1

Теперь вычтем H1H2 * V2H1 из обеих частей и получим:

0 = H2V1 * V2H1

Так как конусы не могут быть супротивными, то H2V1 и V2H1 не могут быть равными нулю. Таким образом, произведение H2V1 и V2H1 также должно быть равно нулю. Это возможно только в том случае, если H2V1 равно нулю, что означает, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2:1.

б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи. Мы должны найти объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, если сумма их высот равна 4.

Обозначим объем большего конуса V1, меньшего - V2. Тогда мы должны найти разность V1 и V2.

Объем конуса можно вычислить по формуле V = (1/3) * pi * R^2 * H, где R - радиус основания, H - высота конуса.

Возьмем больший конус. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60 градусов. Значит, у нас есть прямоугольный треугольник, у которого один катет равен R, а гипотенуза равна R/sin(60) = R/(√3/2) = (2R) / √3.

Пользуясь теоремой Пифагора, найдем второй катет: H1^2 = (2R)^2 - R^2 = 3R^2 → H1 = √3R.

Теперь рассмотрим меньший конус. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Это означает, что у нас есть прямоугольный треугольник, у которого один катет равен R, а гипотенуза равна R/sin(30) = R/(1/2) = 2R.

Пользуясь теоремой Пифагора, найдем второй катет: H2^2 = (2R)^2 - R^2 = 3R^2 → H2 = √3R.

Таким образом, сумма высот H1 и H2 равна √3R + √3R = 2√3R.

Мы знаем, что сумма высот обоих конусов равна 4, поэтому получаем следующее уравнение: 2√3R = 4 → √3R = 2 → R = 2/√3.

Теперь, зная радиусы конусов, можем использовать формулу для вычисления объемов конусов:

V1 = (1/3) * pi * (2/√3)^2 * √3(2/√3) = (1/3) * pi * (4/3) * 2 = (8/9) * pi.

V2 = (1/3) * pi * (1/√3)^2 * √3(1/√3) = (1/3) * pi * (1/3) * 1 = (1/9) * pi.

Теперь найдем разность объемов: V = V1 - V2 = (8/9) * pi - (1/9) * pi = (7/9) * pi.

Ответ: объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, равен (7/9) * pi.