Докажите, что в кубе abcda1b1c1d1 диагональ a1c1 перпендикулярна b1b

Все грани куба– квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1– проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1
Треугольник A1BC1– равносторонний, Проведем высоту ВК (К– точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)–KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3– B1M)=1:2 B1M=√3/3
В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK– прямой
Итак, B1D– перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.