1. Геометрия
  2. Докажите что сумма всех

Докажите что сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов

hepizor hepizor    2   26.01.2022 03:57    1

Ответы
аsiyt09 аsiyt09  26.01.2022 06:00

Многогранный угол составлен боковыми сторонами n-угольной пирамиды, в основании которой лежит выпуклый n-угольник. Рассмотрим одну из таких сторон. Докажем, что \gamma (см. рисунок). Тогда \cos\theta = \dfrac{\vec{d}\vec{e}}{|\vec{d}||\vec{e}|} и \cos\gamma = \dfrac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{(\vec{d}+\vec{h})(\vec{e}+\vec{h})}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\vec{d}\vec{e}+h^2}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\vec{d}\vec{e}+h^2}{\sqrt{d^2+h^2}\sqrt{e^2+h^2}}.  Вот сейчас будет немного муторно: \dfrac{\cos\gamma}{\cos\theta} = \dfrac{\underbrace{\vec{d}\vec{e}}_{=s}+h^2}{s\sqrt{1+\dfrac{h^2}{d^2}}\sqrt{1+\dfrac{h^2}{e^2}}}. Однако s+h^2 s\sqrt{1+\dfrac{h^2}{d^2}}\sqrt{1+\dfrac{h^2}{e^2}}, действительно, 1+\dfrac{2h^2}{s}+\dfrac{h^4}{s^2}1+\dfrac{h^2}{e^2}+\dfrac{h^2}{d^2}+\dfrac{h^4}{e^2d^2}, что верно, поскольку каждое слагаемое слева (кроме единицы) больше соответствующего слагаемого справа. Поэтому \cos\gamma \cos\theta \Rightarrow \gamma. Теперь спроецировав вершину O многогранного угла на плоскость (многоугольник), получим, что сумма плоских углов меньше суммы углов при вершине O' проекции O, которая равна в точности 360^{\circ}, что и требовалось.


Докажите что сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Геометрия
DC2004 DC2004  20.05.2020 10:32
Шеңберге іштей ABC теңбүйірлі үшбұрышы сызылған. Үшбұрыштың AC табанының ұзындығы шеңбердің радиусына тең. AC, AB және BC доғаларының өлшемдерін анықтаңыз....
полина2130 полина2130  20.05.2020 10:32
1) Построить образ окружности, трапеции, прямоугольника при параллельном переносе на вектор m, расположенный непараллельно сторонам этих четырехугольников. 2) Построить...
Franker10 Franker10  20.05.2020 10:32
У трикутниках АВС і МNК АВ=МN, ВС=NК, В=...
Kanesan Kanesan  20.05.2020 10:32
В окружность радиусом 2 в корне 3 см вписан правильный треугольник Найдите сторону треугольника и Вычислите площадь круга вписанного в этот треугольник​...
tatleb tatleb  20.05.2020 10:32
Медіана і висота прямокутного трикутника, проведені до гіпотенузи, дорівнюють відповідно 50 см і 48 см. Знайдіть сторони трикутника....
fukkacumi2017 fukkacumi2017  17.11.2020 17:05
Определите взаимное расположение прямой а и плоскости β, если а II b, и прямая b пересекает плоскость β. прямая лежит в плоскости пересекаются параллельны...
kirikk3 kirikk3  17.11.2020 16:55
Нужна Геометрия 9. По чертежу. 2 задачи...
irushkanet irushkanet  25.09.2019 16:20
Впрямоугольном треугольнике acb (угол с=90°) ав=10 см, угол авс=30°. с центром в точке а проведена окружность. каким должен быть ее радиус, чтобы: а) окружность касалась...
hnbgh7hyng hnbgh7hyng  25.09.2019 16:20
:№1 дано : гепотенуза треугольника=25 первый катет=24 найти второй катет=? №2 дано: основание трапеции=24 и 18 h(высота)=-4 s(площадь)трапеции=? №4 дано: 166°и 88°...
Ponchic2201 Ponchic2201  25.09.2019 15:15
Б) через вершины квадрата проведены прямые, параллельные егодиагоналям, которые, пересекаясь, образуют четырехугольникустановите его вид и найдите периметр четырехугольника,...

Популярные вопросы