Докажите что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 3/2 квадрата гипотенузы.

Медиана делит сторону треугольника на 2 равные части. 
При построении трёх медиан в прямоугольном треугольнике, получится ещё 2 прямоугольных треугольника, но с другими катетами (медианы будут являться гипотенузами для каждого из этих треугольников) 
То есть применяя теорему Пифагора, получаем: 
(Медиана1)^2=a^2+(b/2)^2 (первая сторона делится на 2) 
(Медиана2)^2=(a/2)^2+b^2 (вторая сторона делится на 2) 
Но (Медиана3) вычисляется по свойствам прямоугольного треугольника (то есть не так как (Медиана1) и (Медиана2)) 
(Медиана3)^2=(c/2)^2=(a^2+b^2)/4 (то есть Медиана3=Половине гипотенузы, и одновременно является радиусом описанной окружности) 
Теперь осталось найти сумму трёх выражений: 
(a^2+(b/2)^2)+((a/2)^2+b^2)+((a^2+b^2)/4)=(a^2+b^2)*3/2=(3/2)*c^2 
То есть при преобразовании снова применена теорема Пифагора.