Докажите, что сумма двух сторон треугольника больше удвоенной медианы, проведеной из той же вершины.

Нарисуем треугольник. Обозначим его вершины А,В,С. 

Из вершины В проведем к АС медиану, продолжим ее на ее же длину. Поставим точку В1. 

Соеденим В1 с вершинами треугольника А и С. 

Точка М - середина АС и ВМ, а АС и ВМ в то же время диагонали четырехугольника АВСВ1. 

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Следовательно, АВ=СВ1 и ВС=АВ1.

Треугольники АВВ1 и ВСВ1 равны как половины параллелограмма. 

ВС=АВ1

АВ+АВ1=АВ+ВС

ВВ1 -удвоенная медиана треугольника АВС = как третья сторона этих треугольников не может быть равна, и тем более больше, суммы сторон треугольника АВС. 

Сумма двух сторон треугольника больше удвоенной медианы, проведеной из той же вершины, что и требовалось доказать.