Докажите, что множество точек, делящих все хорды, проведённые из данной точки окружности, в данном отношении есть окружность.

Надо сделать следующее - провести из заданной точки диаметр, отметить на нем точку, которая делит этот большой диаметр в нужной пропорции, и провести ПРОИЗВОЛЬНУЮ хорду из этой точки, и на ней тоже отметить аналогичную точку. 
Если теперь соединить концы диаметра и хорды, то получится прямоугольный треугольник. А если соединить отмеченные точки на диаметре и хорде, то полученный отрезок прямой будет делить и диаметр и хорду в одинаковом отношении, то есть будет параллелен отрезку, соединяющему концы хорды и диаметра.
То есть отрезок, соединяющий отмеченные точки, ВСЕГДА перпендикулярен хорде.
Это и означает, что отмеченная точка на хорде лежит на окружности, которая построена, КАК НА ДИАМЕТРЕ, -  на отрезке диаметра исходной окружности, выходящего из заданной точки, так, что конец этого отрезка, которой не лежит на окружности, делит этот большой диаметр в нужной пропорции. 
Если точка лежит на этой окружности - угол, соединяющий точки на хорде и на диаметре, прямой, если нет - не прямой. 

Добрый день! Я с удовольствием выступлю в роли вашего школьного учителя и объясню вам решение этой задачи.

Чтобы доказать, что множество точек, делящих все хорды, проведенные из данной точки окружности, образует окружность, нам понадобится использовать свойства геометрических фигур, в данном случае - окружностей.

Для начала, давайте разберем само определение хорды. Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Теперь представьте себе окружность и возьмите произвольную точку внутри нее. Обозначим эту точку как P. Проведем из точки P произвольную хорду AB.

Теперь важно заметить, что если мы проведем другую хорду CD, параллельную AB, то она будет делиться точкой P на две равные части. В этом случае, P будет являться серединой отрезка CD.

Аналогично, если мы проведем хорду EF, которая перпендикулярна хорде AB, то точка P будет также являться серединой отрезка EF.

Из этой наблюдаемой закономерности можно заключить, что любая, проведенная из точки P хорда, будет делиться этой точкой P пополам.

Таким образом, мы можем заключить, что все хорды, проведенные из данной точки P, будут делиться этой точкой пополам.

Теперь вернемся к самому вопросу. Чтобы показать, что множество точек, делящих все хорды, проведенные из данной точки окружности, образует окружность, нам нужно показать, что все эти точки находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Давайте рассмотрим две точки A и B на окружности, такие что PA и PB являются хордами, проходящими через точку P. Поскольку P находится на равном расстоянии от этих двух точек и делит хорды пополам, то можно сказать, что PA = PB.

Теперь важно заметить, что данное свойство будет выполняться для любой точки P, находящейся внутри оркужности, так как каждая из хорд, проведенных из точки P, будет делиться ею пополам.

Таким образом, мы доказали, что все точки, делящие хорды, проведенные из данной точки окружности, находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. А это является свойством окружности!

Поэтому, множество точек, делящих все хорды, проведенные из данной точки окружности, образуют окружность.

Надеюсь, я смог помочь вам понять решение этой задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!