Докажите, что если прямые y = kx+m, y = mx+n и y = nx+k на координат-ной плоскости имеют общую точку, то они совпадают.

Для доказательства данного утверждения давайте рассмотрим ситуацию, когда у трех данных прямых есть общая точка. Пусть эта точка имеет координаты (a, b).

Так как дано, что точка (a, b) лежит на первой прямой y = kx + m, подставим координаты точки в уравнение прямой:

b = ka + m

Также, точка (a, b) лежит на второй прямой y = mx + n:

b = ma + n

И, наконец, точка (a, b) лежит на третьей прямой y = nx + k:

b = na + k

У нас есть система уравнений, состоящая из трех уравнений, где каждое уравнение соответствует одной из прямых.

Давайте решим эту систему, чтобы найти значения переменных k, m, n:

1) Вычтем из уравнения y = ka + m уравнение y = ma + n:

ka - ma = m - n

(a - a)k = m - n

0 = m - n

m = n (1)

2) Подставим значение m = n в уравнение y = ka + m:

b = ka + n

Вычтем уравнение y = na + k из этого уравнения:

b - na - k = 0

3) Подставим значение m = n в уравнение y = nx + k:

b = na + k

Теперь объединяя два уравнения полученных выше, мы получаем:

b - na - k = b - na - k

0 = 0

Примечание: Каждое уравнение в системе, включая исходный пример, обращается в утверждение 0 = 0. Это означает, что система уравнений имеет бесконечное множество решений. В частности, мы выяснили, что значения m и n в прямых y = mx + n и y = nx + k одинаковые.

Таким образом, мы доказали, что если прямые y = kx + m, y = mx + n и y = nx + k имеют общую точку, то они совпадают.