Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(12;2), B(16;4), C(13;10) и D(9;8).

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, мы можем воспользоваться двумя подходами - проверить, что у него все углы прямые, и убедиться, что его противоположные стороны равны.

1. Проверка прямых углов:
Для этого нам понадобится найти угловые коэффициенты прямых, проходящих через каждую пару соседних точек.

Угловой коэффициент (k) прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), можно найти, используя следующую формулу:
k = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Проверим все угловые коэффициенты соседних точек:

a) Между точками A(12;2) и B(16;4)(левая сторона четырёхугольника):
k1 = (4 - 2) / (16 - 12) = 2 / 4 = 0.5

b) Между точками B(16;4) и C(13;10)(верхняя сторона четырёхугольника):
k2 = (10 - 4) / (13 - 16) = 6 / -3 = -2

c) Между точками C(13;10) и D(9;8)(правая сторона четырёхугольника):
k3 = (8 - 10) / (9 - 13) = -2 / -4 = 0.5

d) Между точками D(9;8) и A(12;2)(нижняя сторона четырёхугольника):
k4 = (2 - 8) / (12 - 9) = -6 / 3 = -2

Мы видим, что коэффициенты k1 и k3 равны 0.5, а коэффициенты k2 и k4 равны -2. Из этого следует, что противоположные стороны четырёхугольника параллельны, а значит, все его углы прямые.

2. Проверка равенства противоположных сторон:
Для этого нам нужно вычислить длины сторон AB, BC, CD и DA и проверить, что они равны.

Длина стороны между точками (x1, y1) и (x2, y2) может быть найдена по формуле:
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Вычислим длины сторон:

AB = √[(16 - 12)² + (4 - 2)²] = √[4² + 2²] = √(16 + 4) = √20 = 2√5

BC = √[(13 - 16)² + (10 - 4)²] = √[(-3)² + 6²] = √(9 + 36) = √45 = 3√5

CD = √[(9 - 13)² + (8 - 10)²] = √[(-4)² + (-2)²] = √(16 + 4) = √20 = 2√5

DA = √[(12 - 9)² + (2 - 8)²] = √[3² + (-6)²] = √(9 + 36) = √45 = 3√5

Мы видим, что все стороны четырёхугольника равны. Значит, все противоположные стороны равны, что является характеристикой прямоугольника.

Теперь, зная, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, мы можем вычислить его площадь.

Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину одной из его сторон на длину перпендикулярно к ней стороны.

Давайте возьмем сторону AB и проведем перпендикулярную ей сторону CD (или BC), чтобы найти высоту треугольника ABX (где X - точка пересечения перпендикуляра и стороны AB).

Так как прямоугольник ABCD - прямоугольник, то сторона AB перпендикулярна стороне CD, и соответствующие им углы равны, значит, треугольники ABX и CDX подобны по признаку углов, и их соответствующие стороны пропорциональны.

Мы можем использовать это знание, чтобы найти длину стороны CD (или BC). Находим коэффициент подобия между этими двумя треугольниками:

m = AB / CD = (2√5) / (2√5) = 1

Теперь зная, что m = 1 и длину стороны AB (2√5), мы можем найти длину стороны CD (или BC) следующим образом:

1 = AB / CD → CD = AB / 1 = 2√5

Таким образом, длина стороны CD равна 2√5. Теперь мы можем использовать её вместе с длиной стороны AB для вычисления площади:

Площадь ABCD = AB * CD = (2√5) * (2√5) = 4 * 5 = 20

Площадь прямоугольника ABCD равна 20.