Доказать следствия из аксиомы параллельных прямых 35

Аксиома параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Теорема 1:

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: a║c, b║c.

Доказать: a║b.

Доказательство (от противного): предположим, что прямые а и b не параллельны и пересекаются в некоторой точке М. Тогда через точку М проходят две прямые, параллельные прямой с. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Предположение неверно, а║b.

Теорема 2:

На плоскости если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано: a║b, c ∩ a.

Доказать: с ∩ b.

Доказательство: Пусть М - точка пересечения прямых а и с. Предположим, что прямая с не пересекает прямую b, значит b║с. Тогда через точку М проходит две прямые, параллельные прямой а. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Предположение неверно, с ∩ b.