Доказать что вектор d=c*(b*a)-a*(b*c) перпендикулярен вектору b

Хорошо, чтобы доказать, что вектор d перпендикулярен вектору b, мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения векторов.

Для начала, давайте разберемся с выражением "c*(b*a)". Когда вектор умножается на скаляр, это означает, что каждый элемент вектора умножается на этот скаляр. Поэтому "c*(b*a)" будет равно (c1, c2, c3) * (b1*a1, b2*a2, b3*a3) = (c1*b1*a1, c2*b2*a2, c3*b3*a3).

Теперь давайте разберемся с выражением "a*(b*c)". В данном случае, мы вычисляем векторное произведение векторов a и (b*c). Векторное произведение двух векторов обозначается как a x b, и его результат - это новый вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам. Поэтому "a*(b*c)" будет равно (a2*(b3*c3 - b2*c2), a3*(b1*c1 - b3*c3), a1*(b2*c2 - b1*c1)).

Теперь, возвращаемся к изначальному выражению вектора d:

d = c*(b*a) - a*(b*c) = (c1*b1*a1, c2*b2*a2, c3*b3*a3) - (a2*(b3*c3 - b2*c2), a3*(b1*c1 - b3*c3), a1*(b2*c2 - b1*c1))

Чтобы доказать, что вектор d перпендикулярен вектору b, мы должны показать, что их скалярное произведение равно нулю:

d * b = (c1*b1*a1, c2*b2*a2, c3*b3*a3) * (b1, b2, b3) - (a2*(b3*c3 - b2*c2), a3*(b1*c1 - b3*c3), a1*(b2*c2 - b1*c1)) * (b1, b2, b3)

= c1*b1*a1*b1 + c2*b2*a2*b2 + c3*b3*a3*b3 - a2*(b3*c3 - b2*c2)*b1 - a3*(b1*c1 - b3*c3)*b2 - a1*(b2*c2 - b1*c1)*b3

= c1*a1*b1^2 + c2*a2*b2^2 + c3*a3*b3^2 - a1*a2*b1*b2*c2 + a2*a3*b2*b3*c3 - a1*a3*b1*b3*c1

= a1*b1^2*(c1 - a2*b2*c2 + a3*b3*c3) + a2*b2^2*(c2 - a1*b1*c1 + a3*b3*c3) + a3*b3^2*(c3 - a1*b1*c1 + a2*b2*c2)

= a1*b1*(b1*c1 - a2*b2*c2 + a3*b3*c3) + a2*b2*(b2*c2 - a1*b1*c1 + a3*b3*c3) + a3*b3*(b3*c3 - a1*b1*c1 + a2*b2*c2)

Мы видим, что каждый элемент в этом выражении представляет собой произведение компоненты вектора a, компоненты вектора b и компоненты вектора c. Заметим, что "(b1*c1 - a2*b2*c2 + a3*b3*c3)" является скалярным произведением векторов b и c.

Таким образом, мы можем переписать выражение как:

d * b = a1*b1*(b * c) + a2*b2*(b * c) + a3*b3*(b * c)

= (a1*b1 + a2*b2 + a3*b3)*(b * c)

У нас есть скалярное произведение векторов a и b внутри скобок. Если оно равно нулю, то и результат скалярного произведения d и b будет равен нулю, что означает, что вектор d перпендикулярен вектору b.

Итак, чтобы доказать, что вектор d перпендикулярен вектору b, необходимо показать, что скалярное произведение векторов a и b равно нулю.