Доказать, что четырехугольник с вершинами: A (6;5;-3)
B (7;-5;1)
С (-1;-3;8)
D (-2;7;4) - квадрат, и найти точку пересечения его диагоналей.

Чтобы доказать, что данный четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо проверить два условия:
1. Стороны четырехугольника должны быть равны между собой.
2. Углы между сторонами должны быть прямыми.

1. Проверка равенства сторон:
Для этого вычислим длины всех сторон ABCD.
Сторона AB:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),
где (x1, y1, z1) - координаты точки A, (x2, y2, z2) - координаты точки B.

AB = √((7 - 6)^2 + (-5 - 5)^2 + (1 - (-3))^2) = √(1^2 + (-10)^2 + 4^2) = √(1 + 100 + 16) = √117.

Аналогично вычислим длины сторон BC, CD и DA:
BC = √((7 - (-1))^2 + (-5 - (-3))^2 + (1 - 8)^2) = √(8^2 + 2^2 + 7^2) = √(64 + 4 + 49) = √117,
CD = √((-1 - (-2))^2 + (-3 - 7)^2 + (8 - 4)^2) = √(1^2 + (-10)^2 + 4^2) = √(1 + 100 + 16) = √117,
DA = √((-2 - 6)^2 + (7 - 5)^2 + (4 - (-3))^2) = √((-8)^2 + 2^2 + 7^2) = √(64 + 4 + 49) = √117.

Мы видим, что длины всех сторон равны между собой: AB = BC = CD = DA = √117. Условие равенства сторон выполняется.

2. Проверка прямых углов:
Для этого воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Если векторы сторон ABCD образуют прямой угол, то их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Вектор AB: u = (7 - 6, -5 - 5, 1 - (-3)) = (1, -10, 4).
Вектор BC: v = (-1 - 7, -3 - (-5), 8 - 1) = (-8, 2, 7).
Вектор CD: w = (-2 - (-1), 7 - (-3), 4 - 8) = (-1, 10, -4).
Вектор DA: x = (6 - (-2), 5 - 7, -3 - 4) = (8, -2, -7).

Теперь вычислим скалярные произведения векторов:
u·v = (1)*(-8) + (-10)*(2) + (4)*(7) = -8 - 20 + 28 = 0,
v·w = (-8)*(-1) + (2)*(10) + (7)*(-4) = 8 + 20 - 28 = 0,
w·x= (-1)*(8) + (10)*(-2) + (-4)*(-7) = -8 - 20 + 28 = 0,
x·u= (8)*(1) + (-2)*(-10) + (-7)*(4) = 8 + 20 - 28 = 0.

Мы видим, что скалярные произведения всех пар векторов равны нулю. Это означает, что все углы ABCD прямые.
Условие прямых углов также выполняется.

Таким образом, четырехугольник ABCD является квадратом, так как выполняются оба необходимых условия.

Чтобы найти точку пересечения диагоналей квадрата ABCD, найдем середины диагоналей и соединим их отрезком. Точка пересечения будет являться серединой этого отрезка.

Середина диагонали AC:
x_AC = (x_A + x_C) / 2,
y_AC = (y_A + y_C) / 2,
z_AC = (z_A + z_C) / 2.

x_AC = (6 - 1) / 2 = 5/2 = 2.5,
y_AC = (5 - (-3)) / 2 = 8 / 2 = 4,
z_AC = (-3 + 8) / 2 = 5 / 2 = 2.5.

Середина диагонали BD:
x_BD = (x_B + x_D) / 2,
y_BD = (y_B + y_D) / 2,
z_BD = (z_B + z_D) / 2.

x_BD = (7 - (-2)) / 2 = 9 / 2 = 4.5,
y_BD = (-5 + 7) / 2 = 2 / 2 = 1,
z_BD = (1 + 4) / 2 = 5 / 2 = 2.5.

Таким образом, точка пересечения диагоналей квадрата ABCD имеет координаты (2.5, 4, 2.5).