Длины катетов прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см.вычислите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан этого треугольника.

Решение основано на свойствах точки пересечения медиан и биссектрис и подобии треугольников. 
 Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒  
 АЕ=2/3 медианы из вершины А.   
Проведем через Е прямую  параллельно СВ.   
 К - точка ее пересечения с АС. 
Треугольники АКЕ и АСМ подобны - прямоугольные с общим углом А.  
Из подобия следует, что  КЕ делит АС в отношении АЕ:ЕМ, т.е. 2:1⇒  
 АК=8, КС=4 
КЕ:СМ=АК:АС 
КЕ:(9:2)=8:12  
КЕ=36:12=3 
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности.  
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле: 
r=(a+b-c):2  
Треугольник АВС - египетский ( отношение катетов 3:4) ⇒  
АВ=15 ( ту же  длину гипотенузы  АВ получим по т.Пифагора) 
r=(12+9-15):2=3  
Расстояние от любой точки биссектрисы треугольника до его сторон одинаково. 
 Расстояние от О до катетов равно r=3 ⇒ 
ТО=СН=ОН=3 
Но КЕ=3 (см. выше) 
Четырехугольник СКЕН - прямоугольник   
ЕН=КС=4 
ОЕ=ЕН-ОН=4-3=1 см