Длина окружности, описанной около правильного многоугольника, в 2/3 корень 3 больше длины окружности вписанной в этот многоугольник.найдите площадь многоугольника, если его периметр равен 12 см.

   Все окружности подобны, ⇒ отношение их радиусов равно отношению их длин. ⇒ R=2/3•r√3 или R=2r/√3 . Радиусом окружности, вписанной в правильный многоугольник, является его апофема ( так называется отрезок, проведенный из центра правильного многоугольника перпендикулярно стороне).  На рисунке приложения нарисован равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – радиусы описанной окружности, высота – радиус вписанной окружности, основание – сторона данного многоугольника. ОН - высота и медиана равнобедренного треугольника. АН=ВН. sin∠OBН=ОН:ОВ=r:R=r:2r/√3=√3/2 ⇒ углы при основании равнобедренного ∆ АОВ=60°. ⇒ угол АОВ=60°. Полная окружность содержит 360°,  поэтому сторон у данного по условию многоугольника 360°:60°=6. АВ=12:6=2  Формула площади правильного треугольника S=a²√3:4. Правильный шестиугольник можно разделить на 6 правильных треугольников,  поэтому его площадь  равна 6•AB²•√3/4=6√3 (ед. площади)