Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О (рис. 14 смотреть вложение). Выразите векторы AB⇒ и AD⇒, через векторы CO⇒ = a ⇒ и BO⇒ = b⇒.

Для выражения векторов AB⇒ и AD⇒ через векторы CO⇒ = a⇒ и BO⇒ = b⇒, воспользуемся правилом параллелограмма.

В параллелограмме, противоположные стороны равны по модулю и направлены в противоположные стороны. То есть, AB⇒ = -CD⇒ и AD⇒ = -BC⇒.

Таким образом, нам нужно выразить векторы CD⇒ и BC⇒ через векторы CO⇒ и BO⇒, а затем применить отрицание.

1. Выразим вектор CD⇒ через CO⇒ и BO⇒.

По правилу параллелограмма: CD⇒ = CO⇒ - DO⇒.

2. Разложим вектор CO⇒ на векторы AB⇒ и BO⇒.

CO⇒ = AB⇒ + BO⇒.

3. Подставим это разложение в выражение для CD⇒.

CD⇒ = AB⇒ + BO⇒ - DO⇒.

4. Перенесем вектор AB⇒ налево и заменим его на -AB⇒.

CD⇒ + AB⇒ = BO⇒ - DO⇒.

5. Перенесем вектор DO⇒ налево и заменим его на -DO⇒.

CD⇒ + AB⇒ - (-DO⇒) = BO⇒.

6. Упростим выражение.

CD⇒ + AB⇒ + DO⇒ = BO⇒.

7. Обозначим вектор DC⇒ как -CD⇒ (вектор, противоположный вектору CD⇒).

-CD⇒ + AB⇒ + DO⇒ = BO⇒.

8. Применим отрицание к обоим сторонам уравнения.

CD⇒ = -AB⇒ - DO⇒ + BO⇒.

9. Аналогичным образом, выразим вектор BC⇒ через CO⇒ и BO⇒.

По правилу параллелограмма: BC⇒ = BO⇒ - CO⇒.

10. Подставим это в выражение для AD⇒.

AD⇒ = BC⇒ - DO⇒.

11. Подставим выражение для BC⇒ из пункта 9.

AD⇒ = (BO⇒ - CO⇒) - DO⇒.

12. Раскроем скобки.

AD⇒ = BO⇒ - CO⇒ - DO⇒.

13. Применим отрицание.

AD⇒ = -CO⇒ - DO⇒ + BO⇒.

Итак, итоговые выражения для векторов AB⇒ и AD⇒ через векторы CO⇒ и BO⇒:

AB⇒ = -CD⇒ = -(-AB⇒ - DO⇒ + BO⇒) = AB⇒ + DO⇒ - BO⇒,

AD⇒ = BC⇒ - DO⇒ = (BO⇒ - CO⇒) - DO⇒ = -CO⇒ - DO⇒ + BO⇒.