Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10√2 см и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать основные формулы для вычисления площади полной поверхности цилиндра и площади диагонального сечения.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

S = 2πr² + 2πrh,

где S - площадь полной поверхности цилиндра,
r - радиус основания цилиндра,
h - высота цилиндра.

В нашем случае, нам дано значение диагонали осевого сечения, которая равна 10√2 см. Также нам известно, что эта диагональ образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°.

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам сначала нужно определить радиус основания и высоту цилиндра.

Посмотрим на сечение цилиндра:

/|
/ |
/ |
/ |
/ h|
/____|

В данной задаче нам понадобится теорема Пифагора. Она утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (самая длинная сторона) равен сумме квадратов длин катетов (двух остальных сторон).

Применим теорему Пифагора к треугольнику, образованному диагональю осевого сечения, радиусом и высотой цилиндра:

(10√2 см)² = r² + h².

Далее, зная, что диагональ сечения образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°, можем использовать свойства прямоугольного треугольника, в котором две стороны образуют угол 45°.

В таком треугольнике сторона, примыкающая к углу 45°, равна длине другой стороны, разделенной на √2.

В нашем случае, сторона r имеет длину 10√2 см, поэтому другая сторона равна:

r/√2 = r√2/2 см.

Теперь мы можем записать уравнение:

(10√2 см)² = (r√2/2 см)² + h².

Решим это уравнение:

(10√2)² = (r√2/2)² + h²,
200 = (r² * 2/4) + h²,
200 = r²/2 + h².

Учитывая, что 200 = r²/2 + h², мы можем выразить h²:

h² = 200 - r²/2.

Теперь, когда у нас есть выражение для h², мы можем заменить его в формуле площади поверхности цилиндра и выразить S:

S = 2πr² + 2πrh,
S = 2πr² + 2πr√(200 - r²/2).

Итак, мы разобрали все вычисления и можем приступить к последнему шагу - вычислению площади полной поверхности цилиндра.

В данном случае, ответ будет числовым значением площади полной поверхности цилиндра в единицах площади (см²). Чтобы его получить, необходимо подставить численные значения радиуса и высоты цилиндра в уравнение S = 2πr² + 2πr√(200 - r²/2) и выполнить все необходимые вычисления.