Диагональ ас прямоугольника авсд равна 3 см и составляет со стороной ад угол 37 градусов. найдите площадь прямоугольника авсд

Question

Геометрия: Диагональ ас прямоугольника авсд равна 3 см и составляет со стороной ад угол 37 градусов. найдите площадь прямоугольника авсд

draufzoda · Answer

Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим ΔАСD (см. прикрепленный рисунок).

АС является гипотенузой в ΔАСD. АС = 3. Также известен острый угол в этом треугольнике ∠CAD = 37°.

Через синус и косинус найдем катеты треугольника АСD.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$sin(A)=\frac{CD}{AC}\\ \\sin37^o=\frac{CD}{3}\\ \\CD=3sin37^o$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$cos(A)=\frac{AD}{AC}\\ \\cos37^o=\frac{AD}{3}\\ \\AD=3cos37^o$

CD и AD являются шириной и длиной в прямоугольника АВСD.

$S_{ABCD}=CD*AD\\ \\S_{ABCD}=3sin37^o*3cos37^o=9sin37^o*cos37^o=\frac{9*2sin37^o*cos37^o}{2}=\frac{9*sin(2*37^o)}{2}=\frac{9}{2}sin74^o=4,5*sin74^o$

ответ: $S_{ABCD}=4,5*sin74^o$ см².