Даны вершины треугольника abc. найти:
1) уравнение высоты, опущенной из вершины a.
2)точку пересечения высоты ha и стороны bc.
3)точку пересечения медиан треугольника abc.
a(1; 0) ; b(-1; 2) ; c(5; 0)

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о треугольниках, их свойствах и формулах.

1) Уравнение высоты, опущенной из вершины a:
Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника до противоположной стороны и перпендикулярный этой стороне. Высоту из вершины a обозначим как ha.

Для нахождения уравнения высоты ha воспользуемся следующей формулой:
ha: y - y1 = -1/m * (x - x1),
где (x1, y1) - координаты вершины a, m - угловой коэффициент стороны, к которой опущена высоты.
Так как сторона, к которой опущена высота, это сторона bc, то координаты точек b и c можно использовать для нахождения углового коэффициента этой стороны.

Найдем угловой коэффициент стороны bc:
m_bc = (y2 - y1) / (x2 - x1),
где (x1, y1) - координаты точки b, (x2, y2) - координаты точки c.
Подставим известные значения:
m_bc = (2 - 0) / (-1 - 5) = 2 / -6 = -1/3.

Теперь используем найденный угловой коэффициент и координаты вершины a:
ha: y - 0 = -1/(-1/3) * (x - 1).

Выразим уравнение высоты ha:
ha: y = 3x - 3.

2) Точка пересечения высоты ha и стороны bc:
Чтобы найти точку пересечения высоты ha с стороной bc, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения высоты ha и уравнения прямой, заданной стороной bc.

Уравнение стороны bc можно записать с использованием точек b и c:
m_bc: y = (-1/3)x + (2 - (-1/3) * (-1)).

Подставим в это уравнение известные значения:
m_bc: y = (-1/3)x + (2 + 1/3).

Уравнение стороны bc будет иметь вид:
m_bc: y = (-1/3)x + 7/3.

Теперь решим систему уравнений ha и m_bc:
3x - 3 = (-1/3)x + 7/3.

Для решения данного уравнения сначала умножим все члены на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
9x - 9 = -x + 7.

Сгруппируем переменные x:
9x + x = 7 + 9,
10x = 16.

Разделим обе части уравнения на 10:
x = 16/10,
x = 8/5.

Теперь найдем значение y, подставив найденное значение x в уравнение высоты ha:
y = 3(8/5) - 3,
y = 24/5 - 15/5,
y = 9/5.

Таким образом, точка пересечения высоты ha и стороны bc имеет координаты (8/5, 9/5).

3) Точка пересечения медиан треугольника abc:
Медианы треугольника - это отрезки, соединяющие вершины треугольника со средними точками противоположных сторон. Точка пересечения медиан треугольника называется центром тяжести.

Для нахождения центра тяжести треугольника abc, необходимо найти средние точки каждой стороны треугольника и просуммировать их координаты, разделив каждую сумму на 3.

Найдем координаты средних точек сторон треугольника.
Средняя точка стороны ab будет находиться посередине между точками a и b:
x_ab = (x1 + x2) / 2,
y_ab = (y1 + y2) / 2.

Подставим известные значения:
x_ab = (1 + (-1)) / 2 = 0 / 2 = 0,
y_ab = (0 + 2) / 2 = 2 / 2 = 1.

Средняя точка стороны bc:
x_bc = (x2 + x3) / 2,
y_bc = (y2 + y3) / 2.

Подставим известные значения:
x_bc = (-1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2,
y_bc = (2 + 0) / 2 = 2 / 2 = 1.

Средняя точка стороны ca:
x_ca = (x1 + x3) / 2,
y_ca = (y1 + y3) / 2.

Подставим известные значения:
x_ca = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3,
y_ca = (0 + 0) / 2 = 0 / 2 = 0.

Таким образом, координаты центра тяжести треугольника abc будут (0, 1), (2, 1) и (3, 0).
"""