Даны вершины треугольника ABC:A(x1,y2),B(x2,y2),C(x3,y3) .
Сделать чертёж. Найти:
1) уравнение и длину стороны AB
2) уравнения высоты CH
3) уравнения медианы AM
4) точку N пересичения медианы AM и высоты CH
5) уравнение прямой, проходящей через вершину C паралельно стороне AB
6) площадь треугольника
7) Внутрений угол B треугольника ABC
A(2;5) B(1;-3) C(2;9)

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно.

1) Для начала, нарисуем треугольник ABC на координатной плоскости. Зная координаты вершин A, B и C, мы можем указать соответствующие точки на плоскости.

Наш треугольник имеет вершины: A(2;5), B(1;-3), C(2;9).

Теперь проведем отрезок AB и найдем его длину. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Запишем координаты точек A и B:

A(2;5) - x1 = 2, y1 = 5
B(1;-3) - x2 = 1, y2 = -3

Подставим числовые значения в формулу и рассчитаем длину стороны AB:

AB = √((1 - 2)^2 + (-3 - 5)^2)
= √((-1)^2 + (-8)^2)
= √(1 + 64)
= √65

Таким образом, длина стороны AB равна √65.

2) Теперь найдем уравнение высоты CH. Высота проведена из вершины C, поэтому мы можем использовать точку C и прямую AB. Уравнение прямой в общем виде имеет вид:

y = kx + b

Для того чтобы найти k и b, подставим координаты точек C и H в уравнение:

C(2;9) - x3 = 2, y3 = 9
H(x,y) - будем искать

Зная, что высота перпендикулярна стороне AB, а значит, ее коэффициент наклона будет противоположным и обратным по знаку коэффициентом наклона AB, найдем k:

k(AB) = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим числовые значения:

k(AB) = (-3 - 5) / (1 - 2)
= (-8) / (-1)
= 8

Теперь используем точку C и найденный коэффициент наклона, чтобы найти b:

9 = 8 * 2 + b
b = 9 - 16
b = -7

Таким образом, уравнение высоты CH имеет вид:

y = 8x - 7

3) Чтобы найти уравнение медианы AM, нам необходимо найти координаты середины стороны BC, которая является средней линией треугольника. Используя формулу для нахождения координат середины отрезка, найдем координаты точки M:

M(x,y) = ((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2)

Подставим числовые значения:

M(x,y) = ((1 + 2) / 2, (-3 + 9) / 2)
= (3/2, 6/2)
= (3/2, 3)

Теперь мы можем найти уравнение медианы AM, используя точку M и точку A. Заменим x и y в общем уравнении прямой на значения точек M и A:

y = kx + b

M(3/2, 3) - x = 3/2, y = 3
A(2, 5) - x1 = 2, y1 = 5

Используя две точки, найдем k:

k(AM) = (y1 - y) / (x1 - x)

Подставим значения:

k(AM) = (5 - 3) / (2 - 3)
= 2 / (-1)
= -2

Теперь используем точку M и найденный коэффициент наклона, чтобы найти b:

3 = -2 * (3/2) + b
b = 3 + 3
b = 6

Таким образом, уравнение медианы AM имеет вид:

y = -2x + 6

4) Для нахождения точки пересечения медианы AM и высоты CH, мы можем решить систему уравнений, составленную из уравнений медианы и высоты. Запишем их и решим:

y = 8x - 7
y = -2x + 6

Используя метод подстановки или метод равенства коэффициентов, решим эту систему уравнений.

Выразим y из первого уравнения:

y = 8x - 7

Подставим это значение y во второе уравнение:

8x - 7 = -2x + 6

Соберем все переменные слева, числа справа:

8x + 2x = 6 + 7

10x = 13

Разделим обе части уравнения на 10:

x = 13/10

Теперь найдем значение y, подставив это значение x в одно из уравнений:

y = 8(13/10) - 7
y = 104/10 - 70/10
y = 34/10
y = 17/5

Таким образом, точка N имеет координаты: N(13/10, 17/5).

5) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB, мы можем использовать точку C и коэффициент наклона стороны AB. Поскольку эти прямые параллельны, их коэффициенты наклона будут равными. Найдем коэффициент наклона AB:

k(AB) = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим числовые значения:

k(AB) = (-3 - 5) / (1 - 2)
= (-8) / (-1)
= 8

Теперь используем точку C и найденный коэффициент наклона, чтобы найти b:

9 = 8 * 2 + b
b = 9 - 16
b = -7

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB имеет вид:

y = 8x - 7

6) Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу герона для треугольника, в которой используются длины сторон треугольника:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где a, b и c - длины сторон треугольника, p - полупериметр треугольника:

p = (a + b + c) / 2

Мы уже рассчитали длину стороны AB в пункте 1 (AB = √65), найдем теперь длины оставшихся сторон BC и AC:

BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)
= √((2 - 1)^2 + (9 - (-3))^2)
= √(1 + 144)
= √145

AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)
= √((2 - 2)^2 + (9 - 5)^2)
= √(0 + 16)
= √16
= 4

Теперь можно рассчитать полупериметр треугольника:

p = (AB + BC + AC) / 2
= (√65 + √145 + 4) / 2

И, наконец, рассчитаем площадь треугольника:

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))

7) Чтобы найти внутренний угол B треугольника ABC, мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями или использовать векторные методы. В данном случае, использование тангенса будет наиболее удобным:

tan(B) = h / a

где h - высота, проходящая из вершины B, a - сторона, противоположная углу B. Мы уже рассчитали уравнение высоты CH в пункте 2, поэтому нам нужно только найти длину стороны BC:

BC = √145

Теперь можем рассчитать тангенс угла B:

tan(B) = h / BC

Найдем h из уравнения прямой CH:

y = 8x - 7

Подставим координаты точки B в это уравнение и найдем h:

-3 = 8(1) - 7
-3 = 1

Таким образом, h = -3.

Теперь рассчитаем тангенс угла B:

tan(B) = -3 / √145

Подставим в эту формулу числовые значения и найдем угол B, используя обратную тангенс функцию на калькуляторе.

Вот и весь подробный ответ на ваш вопрос. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!