Даны вершины треугольника a(7; -8; 2) b(10; -8; -1) c(11; -4; 2) найдите величину угла bac этого треугольника

Угол α между вектором a и b:

cosα=(Xa*Xb+Ya*Yb+Za*Zb)/[√(Xa²+Ya²+Za²)*√(Xb²+Yb²+Zb²)].

В нашем случае вектор а - это вектор АВ, а вектор b - вектор АС. Искомый угол <BAC.  Найдем координаты векторов.

Вектор АВ={10-7;-8-(-8);-1-2} = {3;0;-3}.

Вектор АС={11-7; -4-(-8);2-2} = {4;4;0}.

Тогда Cosα = (12+0+0)/[√(9+0+9)*√(16+16+0)] = 12/24 =1/2.

ответ: <BAC = arccos(0,5) = 60°

Чтобы найти величину угла в треугольнике, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения угла в треугольнике по трем сторонам выглядит следующим образом:

cos(угол) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Где a, b и c - длины сторон треугольника.

В данном случае, нам даны координаты вершин треугольника. Мы можем вычислить длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками:

AB = √[(xb - xa)^2 + (yb - ya)^2 + (zb - za)^2]
BC = √[(xc - xb)^2 + (yc - yb)^2 + (zc - zb)^2]
CA = √[(xa - xc)^2 + (ya - yc)^2 + (za - zc)^2]

Где A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb) и C(xc, yc, zc) - координаты вершин треугольника.

Теперь начнем вычисления.

Длина стороны AB:
AB = √[(10 - 7)^2 + (-8 - (-8))^2 + (-1 - 2)^2]
AB = √[3^2 + 0^2 + (-3)^2]
AB = √[9 + 0 + 9]
AB = √18

Длина стороны BC:
BC = √[(11 - 10)^2 + (-4 - (-8))^2 + (2 - (-1))^2]
BC = √[1^2 + 4^2 + 3^2]
BC = √[1 + 16 + 9]
BC = √26

Длина стороны CA:
CA = √[(7 - 11)^2 + (-8 - (-4))^2 + (2 - 2)^2]
CA = √[(-4)^2 + (-4)^2 + 0^2]
CA = √[16 + 16 + 0]
CA = √32

Теперь, когда мы знаем длины сторон AB, BC и CA, мы можем найти величину угла BAC с использованием формулы для теоремы косинусов:

cos(BAC) = (AB^2 + CA^2 - BC^2) / (2 * AB * CA)

cos(BAC) = (18 + 32 - 26) / (2 * √18 * √32)

cos(BAC) = (24) / (2 * √(18 * 32))

cos(BAC) = (24) / (2 * √(576))

cos(BAC) = (24) / (2 * 24)

cos(BAC) = 1/2

Теперь мы можем найти величину угла BAC используя тригонометрическую функцию арккосинус:

BAC = arccos(1/2)

BAC ≈ 60°

Таким образом, величина угла BAC этого треугольника равна примерно 60 градусов.