даны три последовательные вершины параллелограмма A(-3;-2;0) B(3;-1;1) и С(5;0;2) Определите координаты его четвертой вершины D и найдите угол между диагоналями

сейчас напишу в комментариях

Чтобы определить координаты четвертой вершины D параллелограмма, нужно использовать свойства параллелограмма. Одно из таких свойств гласит, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

У нас есть две стороны AB и CD параллелограмма. Строим вектор AB и перемещаем его начало в точку C. Таким образом, получим вектор CD.

1) Координаты вектора AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA) = (3 - (-3); -1 - (-2); 1 - 0) = (6; 1; 1)

2) Координаты точки C = (5; 0; 2)

3) Теперь строим вектор CD.
Координаты вектора CD = (xD - xC; yD - yC; zD - zC)

4) Поскольку AB и CD параллельны, их координаты должны быть пропорциональны. Можно записать следующее уравнение:
(xD - xC; yD - yC; zD - zC) = k * (AB) = k * (6; 1; 1)

5) Подставляем значения координат точки C и вектора AB в уравнение и находим k:
(xD - 5; yD - 0; zD - 2) = k * (6; 1; 1)

Раскрываем скобки:
xD - 5 = 6k
yD - 0 = k
zD - 2 = k

6) Теперь решаем систему уравнений, используя значения координат точки C и вектора AB:
xD = 6k + 5
yD = k
zD = k

7) Таким образом, координаты четвертой вершины D параллелограмма будут:
xD = 6k + 5
yD = k
zD = k

Чтобы определить угол между диагоналями параллелограмма, нужно использовать свойства параллелограмма и тригонометрию. Одно из свойств гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам и пересекаются в точке, которая является серединой каждой из диагоналей.

Дано, что диагонали AD и BC параллелограмма пересекаются в точке E, которая является серединой каждой из диагоналей.

8) Чтобы найти координаты точки E, можем использовать формулу середины отрезка:
xE = (xA + xD) / 2
yE = (yA + yD) / 2
zE = (zA + zD) / 2

Подставляем координаты точек A и D:
xE = (-3 + (6k + 5)) / 2 = (6k + 2) / 2 = 3k + 1
yE = (-2 + k) / 2 = (k - 2) / 2 = (1/2)k - 1
zE = (0 + k) / 2 = k / 2

9) Таким образом, координаты точки E будут:
xE = 3k + 1
yE = (1/2)k - 1
zE = k / 2

10) Теперь находим вектор DE:
Координаты вектора DE = (xE - xD; yE - yD; zE - zD) = (3k + 1 - (6k + 5); (1/2)k - 1 - k; k / 2 - k) = (-3k - 4; -(1/2)k - 1; -k / 2)

11) Находим длины векторов DE и CD:
Длина вектора DE = sqrt((-3k - 4)^2 + (-(1/2)k - 1)^2 + (-k / 2)^2)
Длина вектора CD = sqrt((xD - xC)^2 + (yD - yC)^2 + (zD - zC)^2)

12) Поскольку точка D является вершиной параллелограмма, то вектор CD совпадает с вектором AB.
Таким образом, координаты вектора CD = (6; 1; 1).
Подставляем значения координат вектора CD и длины вектора в формулу:
Длина вектора CD = sqrt(6^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(36 + 1 + 1) = sqrt(38)

13) Заменяем длину вектора CD и длину вектора DE в формулу для нахождения угла между векторами:
cos(угол) = ((-3k - 4) * 6 + (-(1/2)k - 1) * 1 + (-k / 2) * 1) / (sqrt(38) * sqrt((-3k - 4)^2 + (-(1/2)k - 1)^2 + (-k / 2)^2))

14) Теперь можно решить уравнение и найти значение угла. Для этого нужно найти k и подставить его в данное уравнение.

Это детальное пошаговое решение задачи о параллелограмме и угле между его диагоналями в доступной форме для школьников.