Даны точки K(0; - 2; 1), E (4; - 1 ; 2),D ( 0 ; - 2; 2 ), P ( 0; - 3; 1).Найти угол между векторами KE и PD.

Чтобы найти угол между векторами KE и PD, нужно сначала найти сами векторы KE и PD.

Вектор KE будет равен разности координат точек E и K:
KE = E - K = (4 - 0; -1 - (-2); 2 - 1) = (4; 1; 1)

Аналогично, вектор PD будет равен разности координат точек D и P:
PD = D - P = (0 - 0; -2 - (-3); 2 - 1) = (0; 1; 1)

Теперь, чтобы найти угол между векторами KE и PD, можно воспользоваться формулой скалярного произведения векторов:

cos(θ) = (KE · PD) / (|KE| * |PD|)

где KE · PD - это скалярное произведение векторов KE и PD, а |KE| и |PD| - это их длины.

Найдем сначала скалярное произведение KE и PD:
KE · PD = 4 * 0 + 1 * 1 + 1 * 1 = 0 + 1 + 1 = 2

Теперь найдем длины векторов KE и PD:
|KE| = √(4^2 + 1^2 + 1^2) = √(16 + 1 + 1) = √18
|PD| = √(0^2 + 1^2 + 1^2) = √(0 + 1 + 1) = √2

Подставим полученные значения в формулу cos(θ):
cos(θ) = 2 / (√18 * √2)

Для удобства дальнейших вычислений можно представить √18 как √9 * √2 и упростить выражение:
cos(θ) = 2 / (√9 * √2 * √2)
cos(θ) = 2 / (3 * 2)
cos(θ) = 2 / 6
cos(θ) = 1/3

Теперь найдем значение угла θ, применяя обратную функцию косинуса (arccos):
θ = arccos(1/3)

Таким образом, угол между векторами KE и PD равен arccos(1/3).
Этот угол может быть найден с помощью калькулятора или таблицы значений тригонометрических функций.