Даны точки А (0; 0; 2) и В (1; 1; -2), О — начало координат.

1. На оси у найдите точку М (0; у; 0), равноудаленную от точек А и В.

2. В плоскости ху найдите точку С (х; у; 0), такую, чтобы векторы АС и ВО были коллинеарными.

3. При каком значении х вектор ν(х; 2; 1) будет перпенди-кулярен вектору АВ?

1. Чтобы найти точку М, равноудаленную от точек А и В, нужно воспользоваться формулой для нахождения середины отрезка, заданного двумя точками. Формула выглядит следующим образом:
M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2),
где x1, y1, z1 и x2, y2, z2 - координаты точек A и B соответственно.

Применяя формулу к точкам A(0, 0, 2) и B(1, 1, -2), получим:
M = ((0 + 1) / 2, (0 + 1) / 2, (2 + (-2)) / 2) = (1/2, 1/2, 0).

Таким образом, точка М имеет координаты (1/2, 1/2, 0).

2. Чтобы найти точку C, такую, чтобы векторы AC и OB были коллинеарными, нужно использовать условие коллинеарности векторов. Условие коллинеарности векторов AC и OB можно записать в виде:
AC = k * OB,
где k - некоторое число.

Вектор AC можно найти как разность координат точек A и C:
AC = (x - 0, y - 0, z - 2) = (x, y, z - 2).

Вектор OB можно найти как разность координат точек O и B:
OB = (0 - 1, 0 - 1, 0 - (-2)) = (-1, -1, 2).

Сравнивая соответствующие координаты векторов AC и OB, получаем следующую систему уравнений:
x = -k,
y = -k,
z - 2 = 2k.

Решим эту систему уравнений методом подстановки.

Из первых двух уравнений следует:
x = -k,
y = -k.

Подставляем эти значения в третье уравнение:
z - 2 = 2k,
z = 2k + 2.

Таким образом, точка C имеет координаты (x, y, z) = (-k, -k, 2k + 2), где k - некоторое число.

3. Чтобы вектор ν (х, 2, 1) был перпендикулярен вектору АВ, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить по формуле:
ν * АВ = νx * АВx + νy * АВy + νz * АВz,
где νx, νy, νz - координаты вектора ν, АВx, АВy, АВz - координаты вектора АВ.

Применяя формулу, получим:
(х * 1) + (2 * 1) + (1 * (-2)) = 0,
х + 2 - 2 = 0,
х = 0.

Таким образом, при значении х = 0 вектор ν (0, 2, 1) будет перпендикулярен вектору АВ.