Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B(5;-3;2), C(1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.​

Чтобы найти периметр треугольника и косинусы его углов, нужно сначала вычислить длины его сторон, а затем с помощью этих длин найти косинусы углов.

1. Вычисление длин сторон треугольника:
Для вычисления длины стороны треугольника, нам понадобится использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве, которая записывается следующим образом:

расстояние между точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Вычисляем длины сторон треугольника AB, BC и CA:
AB = √((5 - 3)^2 + (-3 - 7)^2 + (2 - (-4))^2) = √(2^2 + (-10)^2 + 6^2)
= √(4 + 100 + 36) = √140 ≈ 11.83

BC = √((1 - 5)^2 + (3 - (-3))^2 + (-10 - 2)^2) = √((-4)^2 + (6)^2 + (-12)^2)
= √(16 + 36 + 144) = √196 = 14

CA = √((1 - 3)^2 + (3 - 7)^2 + (-10 - (-4))^2) = √((-2)^2 + (-4)^2 + (-6)^2)
= √(4 + 16 + 36) = √56 ≈ 7.48

2. Нахождение косинусов углов треугольника:
Чтобы найти косинусы углов, мы воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет нам связать длины сторон треугольника с косинусами его углов. Формула теоремы косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)

Где a, b и c обозначают длины сторон треугольника, а C - угол между этими сторонами.

Вычисляем косинусы углов ABC, BCA и CAB:
Косинус угла ABC: cos(ABC) = (AB^2 + BC^2 - CA^2) / (2 * AB * BC)
cos(ABC) = (11.83^2 + 14^2 - 7.48^2) / (2 * 11.83 * 14) ≈ 0.818

Косинус угла BCA: cos(BCA) = (BC^2 + CA^2 - AB^2) / (2 * BC * CA)
cos(BCA) = (14^2 + 7.48^2 - 11.83^2) / (2 * 14 * 7.48) ≈ -0.436

Косинус угла CAB: cos(CAB) = (CA^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * CA * AB)
cos(CAB) = (7.48^2 + 11.83^2 - 14^2) / (2 * 7.48 * 11.83) ≈ -0.250

3. Нахождение периметра треугольника:
Периметр треугольника - это сумма длин его сторон, в данном случае, AB, BC и CA.
Периметр треугольника = AB + BC + CA
Периметр треугольника ≈ 11.83 + 14 + 7.48 ≈ 33.31

Итак, периметр треугольника составляет около 33.31, а косинусы его углов примерно равны 0.818, -0.436 и -0.250.