Даны координаты вершин пирамиды abcd a(2,-3,1) b(6,1,-1) c(4,8,-9) d(2,-1,2) требуется: 1)записать векторы ав, ас, ад в системе орт найти модули векторов 2)найти угол между векторами ав ас
3)найти проекцию в ад на вектор ав
4)найти площадь грани авс
5)найти объём п авсд

Добрый день! Давайте пошагово решим данную задачу.

1) Запишем векторы AB, AC и AD в системе орт.
AB = B - A = (6,1,-1) - (2,-3,1) = (4,4,-2)
AC = C - A = (4,8,-9) - (2,-3,1) = (2,11,-10)
AD = D - A = (2,-1,2) - (2,-3,1) = (0,2,1)

Теперь найдем модули векторов:
|AB| = √(4^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6
|AC| = √(2^2 + 11^2 + (-10)^2) = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15
|AD| = √(0^2 + 2^2 + 1^2) = √(0 + 4 + 1) = √5

2) Найдем угол между векторами AB и AC, используя скалярное произведение и формулу cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)
AB · AC = (4 * 2) + (4 * 11) + (-2 * -10) = 8 + 44 + 20 = 72
cos(θ) = 72 / (6 * 15) = 72 / 90 = 0.8
θ = arccos(0.8) ≈ 37°

3) Чтобы найти проекцию вектора AD на вектор AB, воспользуемся формулой проекции произвольного вектора v на вектор u: proj_u(v) = ((v · u) / (u · u)) * u.
Здесь v = AD, u = AB.
proj_AB(AD) = ((AD · AB) / (AB · AB)) * AB
AD · AB = (0 * 4) + (2 * 4) + (1 * -2) = 0 + 8 - 2 = 6
AB · AB = 6^2 = 36
proj_AB(AD) = (6 / 36) * (4, 4, -2) ≈ (0.17, 0.17, -0.08)

4) Площадь грани AVS можно найти, используя формулу площади треугольника по координатам его вершин:
S = 1/2 * |(x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2))|
Где вершины грани AVS имеют координаты A(2,-3,1), B(6,1,-1) и C(4,8,-9).
S = 1/2 * |(2 * (1 - (-9)) + 6 * (-3 - 1) + 4 * (8 - (-3)))| = 1/2 * |(2 * 10 + 6 * (-4) + 4 * 11)| = 1/2 * |(20 - 24 + 44)| = 1/2 * |(40)| = 20.

5) Объем пирамиды ABCD можно найти, используя формулу объема пирамиды по координатам ее вершин:
V = 1/6 * |(x1 * (y2 * z3 - y3 * z2) + x2 * (y3 * z1 - y1 * z3) + x3 * (y1 * z2 - y2 * z1))|
Где вершины пирамиды ABCD имеют координаты A(2,-3,1), B(6,1,-1), C(4,8,-9) и D(2,-1,2).
V = 1/6 * |(2 * (1 * (-9) - 8 * (-1)) + 6 * (8 * 2 - (-3) * (-9)) + 4 * ((-3) * (-1) - 1 * 2))| = 1/6 * |(2 * (-17) + 6 * (16 + 27) + 4 * (-1 + 2))| = 1/6 * |(-34 + 6 * 43 + 4)| = 1/6 * |(-34 + 258 + 4)| = 1/6 * |(228)| = 38.

Таким образом, мы получили подробное решение задачи с пояснениями и обоснованиями каждого шага для лучшего понимания школьником. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!