Даны координаты треугольника АВС А(3;2) В(11;8) С(15;-3) Требуется найти:
а) длины,уравнения и угловые коэффициенты сторон АВ и АС
б)внутренний угол А треугольника АВС в градусах с точностью до двух знаков после запятой
в)длину и уравнение высоты СD
г) координаты точки D и уравнения прямой ,проходящей через точку D параллельно стороне АС
д) точку пересечения медианы треугольника АВС
е) площадь треугольника АВС двумя

Даны координаты треугольника АВС А(3;2) В(11;8) С(15;-3).

а) Длины,уравнения и угловые коэффициенты сторон АВ и АС .

Векторы: АВ = (8; 6), АС = (12; -5).

Длины: АВ = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

            АС = √(12² + (-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.

Угловые коэффициенты прямых равны: к = Δу/Δх.

к(АВ) = 6/8 = 3/4 = 0,75.  

к(АС) = -5/12.

б) Внутренний угол А треугольника АВС.

cos A = (8*12 – 5*6)/(10*13) = 33/65.

     A = 1,038292 радиан или 59,49 градуса.

в) Длина и уравнение высоты СD.

Угловой коэффициент прямой СD равен: к(СD) = -1/к(АВ) = -1/(3/4) = -4/3.

Уравнение СD имеет вид: у = (-4/3)х + в. Для определения параметра «в» подставим координаты точки С: -3 = (-4/3)*15 + в,  в =  –3 + (60/3) = 17.

Уравнение высоты СD: у = (-4/3)х + 17.

Длина высоты СD рассчитывается по формуле:

D = |(y2-y1)*x0 – (x2-x1)*y0 + x2y1 – y2x1|/√((y2-y1)² + (x2-x1)²).

Она выведена на основе формулы d = 2S/|AB|.

Подставив данные, получаем длину СD: d = 11,2.

г) Координаты точки D и уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно стороне АС.

Находим уравнение стороны АВ.

(х −3)/8 = (y−2)/6 ⇔ 3x−4y−1=0.

С угловым коэффициентом уравнение АВ: у = (3/4)х – (1/4).

Координата точки D находится как точка пересечения прямых АВ и СD.

(3/4)х – (1/4) = (-4/3)х + 17.

(25/12)х = (69/4)0 отсюда:

х(D) = 207/25 = 8,28.

y(D) = (3/4)*8,28 – (1/4) = 5,96.

В уравнении прямой DР, проходящей через точку D параллельно стороне АС, угловой коэффициент равен такой же, как и у АС, то есть  к(DР) = к(АС) = -5/12.

Уравнение имеет вид: у = (-5/12)х + в. Для определения параметра "в" подставим координаты точки D: 5,96 = (-5/12)*8,28 + в, отсюда в = 5,96 + 3,45 = 9,41.

Уравнение  DР: у = (-5/12)х + 9,41.

д) Точка пересечения медианы треугольника АВС ? с чем? и к какой. стороне?

е) Площадь треугольника АВС двумя

1. По формуле Герона.

Находим длины сторон.

с =АВ = √((хВ – хА)² + (уВ – уА)²) = √((11 – 3)² + (8 – 2)²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

а =ВС = √((хС – хВ)² + (уС – уВ)²) = √((15 – 11)² + (-3 – 8)²) = √(4² +(-11)²) = √(16 + 121) = √137 ≈ 11,7047.

b =АС = √((хС – хА)² + (уС – уС)²) = √((15 – 3)² + (-3 – 2)²) = √(12² +(-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.

Полупериметр треугольника равен: р = (10+ 11,7047 + 13)/2 = 17,35235.

Площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Подставив данные, получим S = 56 кв.ед.

2. По векторам.

Площадь равна половине модуля векторного произведения АВ и АС.

Векторы: АВ = (8; 6), АС = (12; -5).

i        j       k |      i       j  

8       6      0 |     8      6

12    -5     0 |     12     -5    =   0i + 0j – 40k – 0j + 0i – 72k = -112k.

S = (1/2)*|-112| = 56 кв.ед.

3. Можно принять третий вариант – по двум сторонам и углу между ними.

Найден угол A = 59,49 градуса и 2 примыкающие стороны: АВ = 10 и АС = 13.

S = (1/2)*10*13*sin A = (1/2)*10*13*0,861538 = 56 кв.ед.