Даны две точки А и В. Укажите все точки М на отрезке АВ, для которых:

a) АМ:МВ > 1; б) АМ:МВ ≥ 2;

в) АМ:МВ ≤ 1/3; г) 1< АМ:МВ < 2;

д) 2≤ АМ:МВ < 3; е) ½ ≤ АМ:МВ ≤ 2.

Для решения этой задачи будет полезно использовать понятие векторов и их координат. Пусть координаты точки A равны (x1, y1), а координаты точки B равны (x2, y2). Затем найдем координаты точки M и запишем их в виде (x, y).

a) Для того чтобы АМ:МВ > 1, необходимо, чтобы расстояние от А до М было больше расстояния от М до В. То есть, чтобы вектор АМ был длиннее вектора МВ.

Мы можем найти координаты точки М, используя формулу, которая основана на заданной пропорции:
(x, y) = (x1 + t(x2 - x1), y1 + t(y2 - y1)), где t - некоторое число.

Так как координаты точки М лежат на отрезке АВ, то 0 ≤ t ≤ 1.

Расстояние между точками А и М равно длине вектора АМ, которая может быть найдена по формуле:
|АМ| = √((x - x1)^2 + (y - y1)^2)

Аналогично, расстояние между точками М и В равно длине вектора МВ:
|МВ| = √((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2)

Теперь подставим эти значения в неравенство АМ:МВ > 1 и решим его:
√((x - x1)^2 + (y - y1)^2) / √((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2) > 1

В этом неравенстве есть квадратные корни, что усложняет его решение. Однако, мы можем упростить его, возводя обе части в квадрат:
((x - x1)^2 + (y - y1)^2) / ((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2) > 1

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
(x^2 - 2x1x + x1^2 + y^2 - 2y1y + y1^2) / (x2^2 - 2x2x + x^2 + y2^2 - 2y2y + y^2) > 1

Умножим обе части неравенства на ((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2), чтобы избавиться от знаменателя:
(x^2 - 2x1x + x1^2 + y^2 - 2y1y + y1^2) > (x2^2 - 2x2x + x^2 + y2^2 - 2y2y + y^2)

Сократим похожие слагаемые на обеих сторонах:
- 2x1x + x1^2 - 2y1y + y1^2 > - 2x2x + x2^2 - 2y2y + y2^2

Плюс, перенесем все слагаемые с переменными на одну сторону, а все свободные слагаемые на другую сторону:
- 2x1x + 2x2x + x1^2 - x2^2 - 2y1y + 2y2y + y1^2 - y2^2 > 0

Сгруппируем подобные слагаемые:
2(x2 - x1)x + x1^2 - x2^2 + 2(y2 - y1)y + y1^2 - y2^2 > 0

Используем разность квадратов:
2(x2 - x1)x + (x1 - x2)(x1 + x2) + 2(y2 - y1)y + (y1 - y2)(y1 + y2) > 0

Сократим скобки:
2(x2 - x1)x - 2(x2 - x1)(x1 + x2) + 2(y2 - y1)y - 2(y2 - y1)(y1 + y2) > 0

Сгруппируем подобные слагаемые:
2(x2 - x1)(x - x1 - x2) + 2(y2 - y1)(y - y1 - y2) > 0

Таким образом, получается, что точка М лежит на отрезке АВ для неравенства АМ:МВ > 1, если выполнено условие:
(x - x1 - x2)(x2 - x1) + (y - y1 - y2)(y2 - y1) > 0

b) Для того чтобы АМ:МВ ≥ 2, необходимо, чтобы расстояние от А до М было больше или равно расстояния от М до В. То есть, чтобы вектор АМ был длиннее или равен вектору МВ.

Мы можем использовать тот же самый подход и решить неравенство:
((x - x1)^2 + (y - y1)^2) / ((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2) ≥ 2

Возводим обе части в квадрат:
((x - x1)^2 + (y - y1)^2) ≥ 4((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2)

Раскрываем скобки:
x^2 - 2x1x + x1^2 + y^2 - 2y1y + y1^2 ≥ 4x2^2 - 8x2x + 4x^2 + 4y2^2 - 8y2y + 4y^2

Сокращаем подобные слагаемые:
3x^2 - 2x1x + x1^2 + 3y^2 - 2y1y + y1^2 ≥ 4x2^2 - 8x2x + 4y2^2 - 8y2y

Переносим все слагаемые с переменными на одну сторону, а свободные слагаемые на другую сторону:
3x^2 - 2x1x + 4x2^2 + x1^2 - 4y2^2 + 3y^2 - 2y1y + y1^2 + 8x2x - 4y^2 + 8y2y ≥ 0

Сгруппируем подобные слагаемые:
(3x^2 + 4x2^2 + 8x2x - 2x1x + x1^2) + (3y^2 - 4y2^2 - 4y^2 + 3y1^2 - 2y1y + 8y2y) ≥ 0

Раскроем скобки в каждом квадратном слагаемом:
(3x^2 + 4x2^2 + 8x^2 + 8x2x - 2x1x + x1^2) + (3y^2 - 4y2^2 - 4y^2 + 3y^2 - 2y1y + 8y2y) ≥ 0

Сгруппируем подобные слагаемые:
(11x^2 + 6x2x - 2x1x + x1^2) + (- 4y2^2 + 7y^2 - 2y1y + 8y2y) ≥ 0

Таким образом, точка М лежит на отрезке АВ для неравенства АМ:МВ ≥ 2, если выполнено условие:
(11x^2 + 6x2x - 2x1x + x1^2) + (- 4y2^2 + 7y^2 - 2y1y + 8y2y) ≥ 0

в) Для того чтобы АМ:МВ ≤ 1/3, необходимо, чтобы расстояние от А до М было меньше или равно 1/3 от расстояния от М до В. То есть, чтобы вектор АМ был короче или равен 1/3 от вектора МВ.

Мы можем использовать тот же самый подход и решить неравенство:
((x - x1)^2 + (y - y1)^2) / ((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2) ≤ 1/3

Возводим обе части в квадрат:
((x - x1)^2 + (y - y1)^2) ≤ 1/9((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2)

Раскрываем скобки:
9x^2 - 18x1x + 9x1^2 + 9y^2 - 18y1y + 9y1^2 ≤ (x2 - x)^2 + (y2 - y)^2

Раскрывая скобки в последнем квадратном слагаемом и сокращая подобные слагаемые, получаем следующее:
8x^2 - 12x1x + 8y^2 - 12y1y + x1^2 + y1^2 ≤ x2^2 - 2x2x + y2^2 - 2y2y

Выражаем все через координаты точек А, В и М:
8x^2 - 12x1x + 8y^2 - 12y1y + x1^2 + y1^2 ≤ x2^2 - 2x2x + y2^2 - 2y2y

Сгруппируем подобные слагаемые:
8x^2 - 12x1x + x1^2 + 8y^2 - 12y1y + y1^2 ≤ x2^2 - 2x2x + y2^2 - 2y2y

Заметим, что слагаемые вида -2x2x, -2y2y будут сokращаться и мы можем проигнорировать их в решении:
8x^2 - 12x1x + x1^2 + 8y^2 - 12y1y + y1^2 ≤ x2^2 + y2^2

Сокращаем подобные слагаемые:
9x^2 - 12x1x + x1^2 + 9y^2 - 12y1y + y1^2 ≤ x2^2 + y2^2

Таким образом, точка М лежит на отрезке АВ для неравенства АМ:МВ ≤ 1/3, если выполнено условие:
9x^2 - 12x1x + x1^2 + 9y^2 - 12y1y + y1^2 ≤ x2^2 + y2^2

г) Для того чтобы 1 < АМ:МВ < 2, необходимо, чтобы расстояние от А до М было больше 1 и меньше 2 раз от расстояния от М до В. То есть, чтобы вектор АМ был длиннее 1 и короче 2 раз от вектора МВ.

Мы можем использовать тот же самый подход и решить неравенство:
1 < ((x - x1)^2 + (y - y1)^2) / ((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2) < 2

Возводим обе части в квадрат:
1 < ((x - x1)^2 + (y - y1)^2) / ((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2) < 2

Раскрываем скобки:
1((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2) < (x - x1)^2 + (y - y1)^2 < 2((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2)

Раскрываем и сокращаем подобные слагаемые:
(x2 - x)^2 + (y2 - y)^2 < (x - x1)^2 + (y - y1)^2 < 2(x2 - x)^2 + 2(y2 - y)^2

Рассмотрим только первое неравенство:
(x2 - x)^2 + (y2 - y)^2 < (x - x1)^2 + (y - y1)^2

Распишем его и сразу упростим:
x2^2 - 2x2x + x^2 + y2^2 - 2y2y + y^2 < x^2 - 2x1x + x1^2 + y^2 - 2y1y + y1^2

x2^2 - 2x2x + y2^2 - 2y2y < x^2 - 2x1x + y^2 - 2y1y + x1^2 - y1^2

Если присмотреться, то можно заметить, что x^2 и y^2 на обеих сторонах неравенства скорее всего сокращаются, так как они не нужны для построения пропорции. Значит, мы можем их проигнорировать:

- 2x2x - 2y2y < - 2x1x - 2y1y + x1^2 - y1^2

Затем упростим:

x2x + y2y > x1x + y1y - 1/2(x1^2 - y1^2)

Таким образом, точка М лежит на отрезке АВ для неравенства 1 < АМ:МВ < 2, если выполнено условие:
x2x + y2y > x1x + y1y - 1/2(x1^2 - y1^2)

д) Для того чтобы 2 ≤ АМ:МВ < 3, необходимо, чтобы расстояние от А до М было больше или равно 2 и меньше 3 раз от расстояния от М до В. То есть, чтобы вектор АМ был длиннее или равен 2 и короче 3 раз от вектора МВ.

Мы можем использовать тот же самый подход и решить неравенство:
2 ≤ ((x - x1)^2 + (y - y1)^2) / ((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2) < 3

Возводим обе части в квадрат:
2 ≤ ((x - x1)^2 + (y - y1)^2) / ((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2) < 3

Раскрываем скобки:
2((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2) ≤ (x - x1)^2 + (y - y1)^2 < 3((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2)

Раскрываем и сокращаем подобные слагаемые:
2(x2 - x)^2 + 2(y2 - y)^2 ≤ (x - x1)^2 + (y - y1)^2 < 3(x2 - x)^2 + 3(y2 - y)^2

Рассмотрим только первое неравенство:
2(x2 - x)^