Дано треугольники mnk,mk=nk,mk-18см,угол knp=41°,np-медиана найти: mp,pk,угол 1 и угол 2

докажите,что медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию,является биссиктрисой и высотой.​

Для начала, давайте рассмотрим треугольник MNK и нарисуем его:

M

N K

Теперь нам дано, что стороны MK и NK равны:
MK = NK

Известно, что MK = 18 см, также дано, что угол KNП = 41° и NP является медианой.

Наша задача - найти длины сторон MP и PK, а также угол 1 и угол 2.

Давайте начнем с нахождения длины стороны MP. Поскольку NP является медианой, она делит сторону MK пополам. Это означает, что MP = PK. То есть, MP = PK = 18/2 = 9 см.

Теперь рассмотрим угол 1. Угол 1 - это угол между сторонами NP и PK. Поскольку NP является медианой, она делит угол MKN пополам(назовем его углом MKN/2). Также, мы знаем, что угол MKN равен 41°. Значит, угол MKN/2 равен половине этого значения, то есть, угол MKN/2 = 41°/2 = 20.5°.

Аналогично, угол 2 - это угол между сторонами MP и NK. Так как NP является медианой, она делит угол KNM пополам и угол KNM/2 = 41°/2 = 20.5°.

Теперь, чтобы доказать, что медиана NP является биссектрисой и высотой равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, давайте докажем следующее:

1. Докажем, что NP является биссектрисой, то есть, делит угол MKN пополам.
2. Докажем, что NP является высотой, то есть, перпендикулярно проведено из вершины M к стороне NK.

1. Чтобы доказать, что NP является биссектрисой, нам понадобится использовать теорему о разделении внутреннего и внешнего хордового угла на 2 равные части. Она гласит, что в треугольнике ABC, если AD является биссектрисой угла BAC, то AB/AC = BD/DC.

В нашем случае, мы рассматриваем геометрическую форму треугольника MNK, где NP - медиана, проведенная к стороне NK.

Так как MK = NK (по условию задачи), сторона NP делит сторону NK пополам (то есть, NP = NK/2).

Следовательно, мы можем заметить, что NK = 2(NP). Используя это, мы можем выразить отношение сторон MN и NP как MN/NP = 2.

Но мы также знаем, что угол MKN равен 41° (по условию задачи). Значит, мы можем использовать теорему синусов, чтобы выразить отношение между сторонами MN и NP: MN/NP = sin(MKN)/sin(NKM).

Подставив значение угла MKN (41°) и выражение NK = 2(NP), мы получим следующее:

MN/NP = sin(41°)/sin(NKM) = 2

Учитывая это, мы можем заметить, что MN/NP = 2 и MN = 2(NP). Это доказывает, что NP является биссектрисой угла MKN.

2. Для того чтобы доказать, что NP является высотой, нам необходимо показать, что отрезок NP перпендикулярен стороне NK. Для этого воспользуемся теоремой о высотах, которая гласит, что в треугольнике ABC, высота, опущенная из вершины A, перпендикулярна к стороне BC.

Для доказательства перпендикулярности, применим теорему к нашей ситуации, где вершиной треугольника является M, а стороной BC является NK.

Напомним, что мы уже доказали, что NP является биссектрисой угла MKN. Воспользуемся этим фактом и заметим, что NP делит угол MKN пополам. Значит, угол MPN равен половине угла MKN.

Также, учитывая, что угол MKN равен 41°, мы можем выразить угол MPN как MPN = MKN/2 = 41°/2 = 20.5°.

Теперь, чтобы доказать перпендикулярность, воспользуемся теоремой о перпендикулярности биссектрисы и высоты, которая гласит, что в треугольнике ABC, если биссектриса угла BAC перпендикулярна к высоте, опущенной из вершины A, то треугольник ABC - равнобедренный.

Мы уже доказали, что NP является биссектрисой угла MKN, и мы хотим доказать, что NP является высотой. То есть, нам нужно доказать, что угол MPN = 90°.

Мы знаем, что угол MPN равен 20.5° (как было выведено ранее). Используя неравенство треугольника, мы можем заметить, что сумма углов треугольника должна быть равна 180°. Так как у нас есть угол MKN = 41° и угол KNM = 41° (у которого MPN является половиной), мы можем выразить угол MPN следующим образом:

MPN = 180° - MKN - KNM = 180° - 41° - 41° = 98°

Это означает, что MPN не равен 90°. Но, учитывая, что NP делит угол MKN пополам, а также что его сумма с углом KNM равна 41°, мы можем заметить, что угол MPN также делится пополам и будет равен 20,5°.

Таким образом, мы приходим к противоречию: MPN не может быть одновременно равным 20.5° и 98°.

Это означает, что NP не может быть биссектрисой и высотой в данном случае.

Таким образом, у нас нет оснований утверждать, что медиана NP, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой и высотой.