Дано: MK перпендикулярно BC, MN перпендикулярно AB, AM=MC, AN=CK Доказать BN=BK​

Для решения этой задачи нам придется использовать свойства перпендикуляра и равенства отрезков.

Итак, у нас дано, что MK перпендикулярно BC. Это значит, что угол MBK равен 90°. Также из данного условия следует, что угол MBN равен 90°, поскольку BN лежит на той же прямой, что и BC.

Далее, дано, что MN перпендикулярно AB. Значит, угол MBA равен 90°. Аналогично, угол MCA равен 90°.

Теперь докажем, что BN равна BK.

Из условия задачи имеем AM=MC. Разделим обе части на 2, получим AM/2=MC/2, или AM/2=BC/2.

Поскольку угол MBA равен 90°, то AM=AB. Таким образом, мы получаем AB/2=BC/2.

Теперь вспомним, что MK перпендикулярно BC, и угол MBK равен 90°. Значит, по свойству прямого угла, треугольник MBK прямоугольный. Из этого следует, что BM^2=MK^2+KB^2.

Аналогично, угол MCA равен 90°, и треугольник MCA также прямоугольный. Таким образом, из MB^2=MA^2+AB^2 следует, что BC^2=MC^2+AC^2.

Но мы знаем, что MC=2(AM/2)=2(AB/2), следовательно, BC^2=(2AB/2)^2+AC^2.

Из последнего равенства следует, что BC^2=AB^2+AC^2.

Заметим, что BC^2=BN^2 (по свойству равных сторон), AB^2=BN^2+AN^2, и AC^2=BK^2+CK^2.

Таким образом, мы получаем, что BN^2=(BN^2+AN^2)+(BK^2+CK^2).

Упрощая это уравнение, получим BN^2=BN^2+BK^2+AN^2+CK^2.

Теперь вычтем BN^2 с обеих сторон, чтобы избавиться от них в правой части. После этого уравнение примет вид 0=BK^2+AN^2+CK^2.

Заметим, что AN=CK, и поскольку числа AN и CK положительные, у нас получается уравнение 0=BK^2+AN^2+AN^2.

Таким образом, мы имеем BK^2=0, что означает, что BN=BK.

Таким образом, мы доказали, что BN равно BK.