Дано куб АВСDА1В1С1D1. Обчислити величину кута між векторами АВ1 і А1D за до векторного методу (позначте прямі АВ1 і А1D відповідними векторами). Підказка: скористайтесь формулою знаходження кута між векторами. запишіть з поясненням і обґрунтуванням.

Ответы

nikola58 21.06.2021 14:04

" Дано куб АВСDА1В1С1D1. Вычислить величину угла между векторами АВ1 и А1D с векторного метода (отметьте прямые АВ1 и А1D соответствующими векторами). Подсказка: воспользуйтесь формулой нахождения угла между векторами. "

Объяснение:

векторный

Пусть ребро куба а. Введем прямоугольную систему координат как показано на чертеже. Координаты точек

А(а ;0; 0) , В(0;0;а) , $\vec{AB_1} (-a ;0;a)$ , $|\vec{AB_1} |$ =√((-a)²+0²+a²)=a√2 ;

А(а ;0; a) , D(a;a;0) , $\vec{A_1D} (0 ;a; -a)$ , $|\vec{A_1D} |$ =√(0²+a²+(-a)²)=a√2 .

Скалярное произведение можно вычислить двумя

-по определению $\vec{AB_1} *\vec{A_1D} = | \vec{AB_1} |*|\vec{A_1D}| *cos( \vec{AB_1} ;\vec{A_1D} )$ ;

-используя координаты $\vec{AB_1} *\vec{A_1D} =x_1*x_2+y_1*y_2+z_1*z_2$ .

Получаем $a\sqrt{2} *a\sqrt{2} *cos( \vec{AB_1} ;\vec{A_1D} )=0+0+a*(-a)$ ,

2a²* $cos( \vec{AB_1} ;\vec{A_1D} )$ = - а² ,

$cos( \vec{AB_1} ;\vec{A_1D} )= -\frac{1}{2}$ ⇒ угол между векторами равен 120° .

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется величина наименьшего из плоских углов, образованных этими прямыми ⇒ угол между прямыми АВ₁ и А₁D равен 60° .

по т. косинусов.

Достроим куб ( фактически до 2-го этажа).

Перенесем вектор $\vec{AB_1}$ как показано на чертеже, для совмещения начал данных векторов. Найдем угол между векторами $\vec{AB_2} , \vec{AD_1}$ из ΔА₁DB₂ по т. косинусов . Найдем длины отрезков