Дано куб ABCDA1B1C1D1.
1) Знайдіть усі ребра куба, перпендикулярні до ребра АА1.
2) Доведіть, що пряма, яка проходить через вершину куба А1 і центр
грані ABCD, перпендикулярна до прямої BD.
3) Через точку В проведіть пряму, перпендикулярну до прямої А1С1.
4) Доведіть, що кожна пряма, яка проходить через середину відрізка А1С1 і
перетинає відрізок BD, перпендикулярна до прямої А1С1.

1) Ребра куба, перпендикулярные к ребру AA1, будут прямые линии, проходящие через вершины куба, которые лежат на плоскостях, перпендикулярных к граням, содержащим ребро AA1.

Рассмотрим плоскости, перпендикулярные к граням ABAA1 и BCAB1. Прямые линии, проходящие через вершины А и А1 и лежащие на этих плоскостях, будут перпендикулярны к ребру АА1. Аналогично, рассмотрим плоскости, перпендикулярные к граням C1D1CD и D1DABC1. Прямые линии, проходящие через вершины C1 и C и лежащие на этих плоскостях, также будут перпендикулярны к ребру АА1.

Таким образом, получаем, что у куба ABCDA1B1C1D1 есть 4 ребра, перпендикулярные к ребру АА1: АА1 и А1А, AC1 и A1C1, AD1 и A1D1, BC и B1C1.

2) Для доказательства перпендикулярности прямой, проходящей через вершину А1 и центр грани ABCD, к прямой BD, воспользуемся свойствами параллелограмма.

Поскольку центр грани ABCD является серединой диагонали AC, можно утверждать, что AC1 параллельно плоскости грани ABCD. Также, прямоугольник A1ABC1 является параллелограммом, поэтому его диагонали A1C1 и AB взаимно перпендикулярны.

Таким образом, прямая, проходящая через вершину А1 и центр грани ABCD (то есть прямую A1C1), перпендикулярна к прямой BD.

3) Чтобы провести прямую, перпендикулярную к прямой А1С1 через точку В, воспользуемся свойством перпендикуляра, которое гласит, что если две прямые перпендикулярны к третьей, то они взаимно перпендикулярны.

Итак, чтобы провести прямую, перпендикулярную к прямой А1С1 через точку B, построим прямую, проходящую через точку B и перпендикулярную к грани ABCD, на которой лежит прямая А1С1. Поскольку грань ABCD является прямоугольником, мы можем провести такую прямую через точку B, которая будет перпендикулярна линии, соединяющей две противоположные вершины прямоугольника (например, AC и A1C1).

Таким образом, мы проводим прямую, проходящую через точку В и перпендикулярную к прямой А1С1.

4) Для доказательства того, что каждая прямая, проходящая через середину отрезка А1С1 и пересекающая отрезок BD, перпендикулярна к прямой А1С1, воспользуемся свойством, которое утверждает, что если две линии пересекаются и одна из них перпендикулярна к третьей линии, то их две пересекающиеся линии также взаимно перпендикулярны к третьей линии.

Поскольку середина отрезка А1С1 является серединой диагонали AC1 прямоугольника A1B1C1D1, мы можем утверждать, что она делит эту диагональ пополам. А так как прямая BD является диагональю прямоугольника ABB1A1, мы можем сказать, что прямая, проходящая через середину отрезка А1С1 и пересекающая отрезок BD, делит ее пополам.

Если мы проведем прямую, перпендикулярную к прямой А1С1 через середину отрезка А1С1, она будет пересекать BD и делить его также пополам. Но поскольку каждая прямая, которая делит отрезок пополам, перпендикулярна к этому отрезку (это свойство отрезка, деленного пополам), мы можем заключить, что каждая прямая, проходящая через середину отрезка А1С1 и пересекающая отрезок BD, перпендикулярна к прямой А1С1.