Дано: EF || AC, AE = EO, CF = FО. Доказать: АО и СО — биссектрисы.

Для начала определим, что такое биссектриса. Биссектриса в треугольнике - это отрезок, который делит угол на два равных угла. В данном случае нужно доказать, что отрезки AO и CO делят углы на два равных угла.

Дано:
EF || AC - это значит, что отрезки EF и AC параллельны.
AE = EO - это значит, что отрезки AE и EO равны по длине.
CF = FO - это значит, что отрезки CF и FO равны по длине.

Доказательство:

1. Мы знаем, что отрезки EF и AC параллельны, а значит, угол AEC и угол EFC - соответственные углы, и они равны (по их определению).
2. Также у нас есть два треугольника: треугольник AEF и треугольник CEF.
3. Мы знаем, что отрезки AE и EO равны по длине, а отрезки CF и FO равны по длине, а значит, эти треугольники равнобедренные (в них две стороны равны).
4. Значит, угол AFE равен углу CEF, так как они соответствующие углы в равнобедренных треугольниках.
5. Рассмотрим треугольник ABC. Так как EF || AC, то угол EAF равен углу ACF (параллельные прямые создают соответствующие углы).
6. Так как угол AEF равен углу CEF (равнобедренные треугольники), и угол EAF равен углу ACF (параллельные прямые), значит, угол AEF равен углу CEF.
7. То есть угол AEF равен углу CEF и угол AFE равен углу CFE. Это означает, что отрезки AO и CO делят угол на два равных угла (AO и CO являются биссектрисами).

Таким образом, мы доказали, что отрезки AO и CO являются биссектрисами.