Дано: АВС ; BD = CE, BK = СК
ADK=AEK = 90°
Доказать: АDК=АЕК​

Для доказательства того, что ADK = AEK, мы можем использовать факт о равнобедренных треугольниках.

В данном случае, треугольники ABD и ACE являются равнобедренными, так как BD = CE (дано), и у них совпадают углы при основании (ABD = ACE), а у равнобедренных треугольников также равны основания (AB = AC).

Также дано, что ADK и AEK прямоугольные треугольники, то есть у них прямые углы ADK = AEK = 90°.

Из равнобедренности треугольников ABD и ACE, мы можем сделать вывод, что углы при основании также равны, то есть ADB = AEC.

Таким образом, у нас есть следующие равенства углов:

1) ADK = 90° (дано)
2) ADB = AEC (из равнобедренности треугольников ABD и ACE)
3) ADB + BDK + ADK = 180° (сумма углов треугольника равна 180°)
4) AEC + CEB + CEK = 180° (сумма углов треугольника равна 180°)

Мы можем объединить уравнения 3 и 4:

ADB + BDK + ADK + AEC + CEB + CEK = 360°

Заметим, что ADB и AEC равны (из равнобедренности треугольников), а BDK и CEK также равны (BK = CK).

Тогда мы можем записать равенство так:

2 × ADB + 2 × BDK + ADK = 360°

Так как ADB равен AEC и BDK равен CEK, мы можем записать равенство так:

ADB + BDK + ADK = 180°

Теперь давайте заметим, что сумма углов ADK и AEK составляет половину суммы углов ADB и BDK, так как ADK и AEK являются вертикальными углами.

То есть:

ADK + AEK = (ADB + BDK)/2

Теперь мы можем подставить значение 180° из предыдущего уравнения:

ADK + AEK = 180°/2

ADK + AEK = 90°

Таким образом, мы получили, что ADK = AEK, что и требовалось доказать.