Дано:AB=AC, AK- биссектриса ABC, AM=MK, MN--биссектриса AMK
Доказать: MN || CB. ​

Для начала, давайте разберемся с данными. У нас дан треугольник ABC, где сторона AB равна стороне AC. Также дано, что AK является биссектрисой угла ABC, а AM равна MK. И нам нужно доказать, что линия MN параллельна стороне CB.

1. Поскольку AM равна MK, мы можем заключить, что треугольник AMK является равнобедренным треугольником. В равнобедренном треугольнике две стороны смежные с базой (основанием) равны по длине. Итак, нам известно, что AM = MK, а это означает, что сторона AM и сторона MK равны между собой.

2. Теперь посмотрим на треугольник ABC и угол АКВ. Поскольку AK является биссектрисой угла ABC, она делит этот угол на два равных угла. Поэтому угол AKB должен быть равным углу AKC. То есть угол AKB = углу AKC.

3. Мы также знаем, что сторона AB равна стороне AC (по условию). Так как угол АКВ является общим для обоих треугольников ABK и ACK, а стороны AK и AB равны между собой, то по признаку равных треугольников углы ABK и AKC должны быть равными. То есть угол ABK = углу AKC.

4. Таким образом, у нас есть две пары равных углов: угол AKB = углу AKC и угол ABK = углу AKC.

5. И поскольку угол ABK равен углу AKC, а сторона AK равна стороне AK, то треугольники ABK и AKC равны друг другу (по признаку равных треугольников). Это означает, что стороны BK и KC тоже равны между собой.

6. Теперь давайте рассмотрим треугольник AMK и применим более общую теорему о биссектрисе. Поскольку MN является биссектрисой угла AMK, она делит этот угол на два равных угла.

7. Но так как угол AMK является общим для обоих треугольников AMK и ABK, она также делит угол ABK на два равных угла. То есть угол ABM = углу MBK и угол MKB = углу BMK.

8. Но мы уже знаем, что стороны BK и KC равны между собой (из пункта 5). И если у нас есть два равных угла и равные стороны, то треугольники MBK и MCK также равны друг другу (по признаку равенства треугольников). Это значит, что стороны BM и MC тоже равны между собой.

9. Но теперь, если мы посмотрим на треугольник ABC и стороны BM и MC, которые равны между собой, то по теореме о параллельных линиях (если две стороны треугольника параллельны, то третья сторона также параллельна этим линиям) мы можем заключить, что линия MN параллельна стороне CB.

Таким образом, мы доказали, что MN параллельна CB.