Дано: A...D - куб.
Найти: угол между прямой DC1 и пл. DA1B1C.​

Для решения этой задачи нужно знать некоторые основные свойства геометрических фигур.

Данная задача касается куба, поэтому важно понимать его структуру. Куб состоит из 6 граней, каждая из которых является квадратом. Каждая грань примыкает к другим граням по ребру.

Для начала, давайте разберемся с обозначениями. Здесь используются вершины куба, которые обозначены буквами A, B, C, D и двумя индексами, например A1 и C1. Индекс 1 означает, что эта вершина принадлежит высоте C1D1C2D2, которая перпендикулярна основанию ABCD. Также, используется обозначение DC1 для прямой, проходящей между точками D и C1, и плоскости DA1B1C, обозначенной как пл. DA1B1C.

Нам нужно найти угол между прямой DC1 и пл. DA1B1C. Для этого нам понадобятся две основные теоремы.

Первая теорема: Все диагонали куба равны.
Это означает, что отрезок AC1 имеет такую же длину, как и отрезок BC. Аналогично, отрезок DC1 имеет такую же длину, как и отрезок AB1. Обозначим длину одной из диагоналей куба как d.

Вторая теорема: Для прямых, пересекающихся на плоскости, угол между ними равен углу между их перпендикулярными проекциями на эту плоскость.
Таким образом, мы можем найти угол между прямой DC1 и пл. DA1B1C, найдя угол между проекциями DC1 и прямой, лежащей на пл. DA1B1C.

Теперь перейдем к решению задачи.

Шаг 1: Найдем проекцию прямой DC1 на пл. DA1B1C.
Проекция прямой на плоскость представляет собой линию, параллельную этой плоскости и проходящую через прямую. В данном случае, проекция прямой DC1 на пл. DA1B1C будет линией, параллельной пл. DA1B1C и проходящей через точку D.

Шаг 2: Найдем угол между прямой DC1 и проекцией на плоскость DA1B1C.
Для этого построим прямую, параллельную прямой DC1 и проходящую через точку A1. Обозначим точку пересечения этой прямой с проекцией прямой DC1 как точку X. Затем построим прямую, проходящую через точки D и X. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой DC1 как точку Y. Получаем треугольник DXY.

Шаг 3: Найдем угол DXY.
Для этого воспользуемся теоремой косинусов.
Теорема косинусов утверждает, что квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

В нашем случае, сторонами треугольника DXY являются отрезки DY, DX и XY. Таким образом, угол DXY можно найти по формуле:

cos(DXY) = (DY^2 + XY^2 - DX^2) / (2 * DY * XY).

Вычислив косинус угла DXY, можно найти сам угол DXY с помощью арккосинуса.

Шаг 4: Найдем угол между прямой DC1 и пл. DA1B1C.
Угол между прямой DC1 и пл. DA1B1C будет равен углу DXY, так как DC1 и DX являются параллельными прямыми, поэтому их перпендикулярные проекции на плоскость DA1B1C также будут параллельны.

Таким образом, угол между прямой DC1 и пл. DA1B1C равен углу DXY, который мы нашли в шаге 3.

Надеюсь, что это решение поможет вам понять, как найти угол между прямой DC1 и пл. DA1B1C на основе данной задачи о кубе.