Дана прямая призма АБСА1Б1С1, основание которой- прямоугольныц треугольник АБС с прямым углом С и катетом БС, вдвое большим бокового ребра призмы. Точка М-середина ребра А1С1, точка N дежит на ребре БС, причем СN:NБ= 1:3.
а) Докажите, что MN перпендикулярно CБ1.
б) Найдите угол между прямой МN и плоскостью основания А1Б1С1, если АА1:АБ=1:√7

ответ:щас фото скину

Объяснение:

а) Для доказательства того, что MN перпендикулярно CБ1, мы будем использовать свойство прямоугольной призмы, которое гласит, что диагонали граней прямой призмы взаимно перпендикулярны. Докажем это.

Предположим, что точка P – точка пересечения прямой MN и ребра CБ1, и докажем, что угол C1PB1 прямой.

Обозначим длину бокового ребра призмы как a. Исходя из условия задачи, длина ребра БС равна a, а длина ребра А1С1 равна 2a.

Также обозначим:

А1М = МК = КС1 = х (половина длины ребра А1С1)

А1N = NR = RC1 = y

CN = 3y (по условию задачи, СN : НB = 1 : 3)

Для начала, найдем длины отрезков МP и NP.

Так как М – середина ребра А1С1, то А1М = МК = х.

Из треугольника MNP получаем, что длина отрезка МP равна:

МP = А1М + А1N = х + y.

Далее, нам нужно установить соотношения между длинами сторон треугольников C1ПВ1 и CМN. Рассмотрим их по отдельности.

Согласно условию задачи, длина ребра БС (а) в два раза больше длины бокового ребра призмы (a). Отсюда следует, что длина отрезка BN равна:

BN = 2a.

Из условия CN : NB = 1 : 3 получаем:

CN = 3y.

Из треугольника C1ПВ1 вытекает, что длина отрезка BV1 равна:

BV1 = BV1 + V1П = 3y + 2y = 5y.

Из треугольника CМN также можно установить соотношения между длинами его сторон.

Из треугольника CМN получаем:

CМ = CN – МN = 3y – х.

Суммируем длины сторон CМ и МN:

CМ + MN = CМN

3y – х + (х + y) = 3y

y = 0.

Из этого следует, что y = 0, что означает, что точка N совпадает с точкой С. Тогда СN = 3y = 0.

Значит, МP = х + y = х + 0 = х.

Это означает, что отрезок МP равен половине длины ребра А1С1 (М – середина ребра А1С1). В результате этого МP параллелен ребру А1С1.

Таким образом, угол C1PB1 является прямым углом, а это значит, что отрезок MN перпендикулярен ребру CБ1.

б) Теперь решим вторую часть задачи и найдем угол между прямой МN и плоскостью основания А1Б1С1.

Из условия задачи известно, что АА1:АБ = 1:√7.

Обозначим угол между плоскостью А1Б1С1 и прямой MN как α.

Поскольку прямая МN перпендикулярна ребру CБ1, то α – угол между прямой МN и диагональю плоскости А1С1.

Таким образом, нам нужно найти угол между прямой MN и диагональю плоскости А1С1.

Учитывая, что в треугольнике АА1В углы ∠AB(градусов) и ∠BAA1 равны, а ∠BAA1 = 90 – α (как раз искомый угол), а ∠AB = 180 – 90 = 90, мы можем записать соотношение:

∠AB : ∠BАА1 = АА1:АВ
90 : (90 – α) = 1 : √7.

Домножим обе части этого соотношения на √7(90 – α):

90(√7) = (90 – α).
90√7 = 90 – α.
90 – 90√7 = α.

Таким образом, угол между прямой MN и плоскостью основания А1Б1С1 равен 90 – 90√7 градусов.